VI 1b fale mechaniczne

Fizyka - Fale 1b

Fale mechaniczne c.d

Fale stojące w strunach

      Fale wzbudzane w strunach mają ściśle określone częstotliwości. Jest to związane z tym, że odbijają się od końców tworzą fale stojące. Dopuszczalne są jedynie taki fale, które mieszczą się całkowicie na długości struny L. Na końcach struny powstają węzły, gdyż jest ona tam zamocowana do podstawy. Wynika stąd, że długość struny jest całkowitą krotnością jednego segmentu fali stojącej, którego długość równa jest połowie długości fali:

      L = n l/2.

Z tego warunku można określić częstotliwości drgań struny:

      f_n =  = n

gdzie v oznacza prędkość dźwięku w strunie. Częstotliwości te nazywają się częstotliwościami rezonansowymi (lub własnymi) struny.
      Dźwięk o najniższej częstotliwości nosi nazwę tonu podstawowego. Wynosi ona  f₁ = . Dźwięki o częstotliwościach będących krotnościami tonu podstawowego nazywają się wyższymi harmonicznymi ("owertonami"). Ich amplitudy są mniejsze niż tonu podstawowego, ale w istotny sposób wpływają na barwę dźwięku.

           
Fale stojące w rurach

      W powietrzu wypełniającym rurę mogą powstać stojące fale podłużne, których częstotliwości są ściśle określone przez długość rury oraz sposobu jej zamknięcia.
      Jeśli rura jest zamknięta na obu końcach, to powstają w niej fale analogiczne do fal w

strunach. Ich częstotliwości dane są identycznym wzorem, a mianowicie f_n = n ,  n = 1, 2, 3, . . . , przy czym v oznacza teraz prędkość fali dźwiękowej w powietrzu, zbliżoną do wartości 340 m/s.
      W rurze otwartej na jednym i zamkniętej na drugim końcu mogą powstać fale stojące takie, by na długości L mieściła się nieparzysta liczba ćwiartek fali: L =(2n-1) (l/4),    n = 1, 2, 3, . . . Na końcu zamkniętym powstaje węzeł (fala odbita znosi się z fala padającą), natomiast na końcu otwartym - strzałka.

Częstotliwości rezonansowe takiej rury: f_n =
      W przypadku rury otwartej na obu końcach warunek rezonansu ma postać: L = n l/2. Częstotliwości rezonansowe są takie same, jak w rurze obustronnie zamkniętej.

Częstotliwości rezonansowe:  f_n= ,   n = 1, 2, 3, . . . .

P r z y k ł a d .   Określmy, jaką długość powinna mieć obustronnie otwarta piszczałka organowa, by jej ton podstawowy miał częstotliwość f₁ = 45 Hz. Przyjmując prędkość dźwięku w powietrzu v = 340 m/s, mamy: L = v/2f₁ = (340 m/s)/(90/s)  3,8 m.

Dudnienia

      Zjawisko dudnienia polega na tym, że w każdym ustalonym punkcie przestrzeni występuje na przemian regularne wzmacnianie i osłabianie dźwięku. Pojawia się wtedy, gdy dodają się dwie fale o podobnych amplitudach lecz nieco różnych częstotliwościach. Częstotliwość tych zmian równa jest różnicy (ściślej: modułowi różnicy) częstotliwości fal pierwotnych: f_d = f₁ - f₂ . Wynik taki otrzymuje się z dodania dwóch drgań o różnych częstotliwościach:

      u = A sin(2pf₁t) + A sin(2pf₂t) = [2A  ]  sin 2p

Funkcja sinus reprezentuje drgania z częstotliwością równą średniej arytmetycznej obu drgań. Wyraz w nawiasie kwadratowym reprezentuje amplitudę drgania wypadkowego, która drga z częstotliwością równą połowie różnicy częstotliwości drgań składowych. Amplituda równa jest modułowi tego wyrażenia, zatem jego częstotliwość jest dwa razy większa i równa różnicy częstotliwości.
P r z y k ł a d.   Dwa dźwięki o częstotliwościach 22 000 Hz i 23 000 Hz są niesłyszalne dla normalnego człowieka. Po ich dodaniu powstają dudnienia o częstotliwości 1000 Hz, które są normalnie słyszalne.
      Dudnienia są przykładem ogólniejszego zjawiska zwanego modulacją. Polega ona na zmianach amplitudy fali, przy czym zmiany te są znacznie wolniejsze od drgań zachodzących w samej fali. Modulacja jest podstawowym sposobem przenoszenia informacji w radiofonii.

Zjawisko Dopplera

      Zjawiskiem Dopplera określa się pozorną zmianę częstotliwości drgań fali, spowodowaną ruchem jej źródła lub ruchem obserwatora albo obu tymi czynnikami jednocześnie.

Przypadek 1. Ruch źródła.
Załóżmy, że obserwator jest nieruchomy, a źródło fali porusza się w kierunku obserwatora z pewną prędkością v_z. Po upływie czasu równego jednemu okresowi T drgań odległość między źródłem i obserwatorem równa jest l' = l - v_z T. Jest to więc pozorna długość fali, odbierana

przez obserwatora. Zatem pozorna częstotliwość f ' wynosi:

      f ' =  = = f 

gdzie v oznacza prędkość fali. Jeśli źródło oddala się od obserwatora, to w mianowniku należy użyć znaku "plus". Ogólnie można więc napisać następujący wzór na częstotliwość drgań fali odbieranej przez obserwatora:
      f ' = f

przy czym znak górny odpowiada zbliżaniu się źródła do obserwatora.

P r z y k ł a d.   Syrena samochodu emitująca dźwięk o częstotliwości 3000 Hz zbliża się do obserwatora z prędkością 72 km/h (czyli 20 m/s). Dźwięk odbierany przez ucho ma częstotliwość      f ' = 3000 Hz/(1 - 20/340) = 3188 Hz. Dźwięk ten jest wyższy od pierwotnego o 188 Hz. Gdy samochód oddala się od obserwatora z tą samą prędkością, obserwujemy częstotliwość f ' =  2833 Hz, czyli dźwięk niższy od pierwotnego o 167 Hz.

Przypadek 2. Ruch obserwatora.
Załóżmy, że obserwator zbliża się od nieruchomego źródła z prędkością v_o. Tym razem długość fali nie zmienia się, natomiast prędkość jej rozchodzenia ulega zwiększeniu do wartości v + v_o. Pozorna częstotliwość drgań równa jest więc

      f ' =   = = f

Przy oddalaniu się należy przed prędkością obserwatora użyć znaku "minus".

Fale akustyczne

      Fale akustyczne (inaczej: dźwiękowe) stanowią specyficzną grupę fal mechanicznych. Wytwarzane są przez różne układy drgające takie, jak membrany, struny itp. Następnie rozchodzą się w powietrzu, po czym są odbierane przez ucho. Ich własności są w dużym stopniu zdeterminowane przez budowę i funkcjonowanie układu słuchowego organizmów żywych.
      Do fal akustycznych zalicza się tylko te fale, które są odbierane przez ucho ludzkie. Są to fale o częstotliwościach zawartych w przedziale od 20 Hz do 20 000 Hz. Granice te nie są jednakowe dla wszystkich ludzi i kurczą się z wiekiem. Odnosi się to szczególnie do wyższych częstotliwości.
      Fale o częstotliwościach większych od 20 000 Hz nazywane są ultradźwiękami. Są one odbierane przez niektóre zwierzęta (psy, nietoperze i inne). Ich długość fali jest stosunkowo mała - jest rzędu 1 cm, dzięki czemu stały się one wygodnym narzędziem do wykrywania obiektów podobnego rzędu wielkości.
           
Wysokość dzwięku

      Dla scharakteryzowania fali akustycznej używa się kilku wielkości, z których część ma charakter obiektywny, a część - subiektywny. Podstawową cechą fali jest częstotliwość, która odczuwa się jako wysokość dźwięku. Wysokość dźwięku w nie jest proporcjonalna do częstotliwości, lecz do logarytmu częstotliwości f ( odniesionej do pewnej częstotliwości podstawowej f₀) :  w ~ log (f/f₀).  Zależność logarytmiczna odzwierciedla sposób odczuwania dźwięku przez ucho ludzkie. Reaguje ono nie na różnicę częstotliwości, lecz na różnicę logarytmów, czyli na logarytm ilorazu częstotliwości. Oznacza to, że np. różnicę wysokości  dźwięków o częstotliwościach: 440 Hz i 880 Hz odbieramy tak samo, jak różnicę dźwięków o częstotliwościach 880 Hz i 1760 Hz. W obu przypadkach stosunek częstotliwości wynosi 2, co odpowiada jednej oktawie na skali muzycznej.

Natężenie fali akustycznej
           
Wielkość ta jest miarą energii niesionej przez falę. Natężenie to (zwykle oznaczane przez I) definiuje się jako ilość energii przepływającej w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię ustawioną prostopadle do fali:

      I =

Jednostką natężenia I jest wat podzielony przez metr kwadratowy.
Aby fala była słyszalna jej natężenie nie może być zbyt małe. Graniczna wartość natężenia nazywa się progiem słyszalności. Próg ten jest różny dla różnych częstotliwości. Został on określony doświadczalnie i na postać przedstawioną na rysunku. Z pokazanej krzywej wynika, że ucho ludzkie jest najwrażliwsze na dźwięki o częstotliwości zbliżonej do 1000 Hz. Minimalna wartość natężenia przy tej częstotliwości (I₀) wynosi ok. 10^{- 12} W/m².

      Dla każdego dźwięku istnieje też ograniczenie z góry. Począwszy od pewnej wartości natężenia ucho zaczyna odczuwać ból. Przy skrajnych wartościach częstotliwości (20 i 20 000 Hz) linia bólu leży bardzo blisko progu słyszalności. Najpóźniej ból pojawia się przy częstotliwości rzędu 1000 Hz. Ten obszar częstotliwości jest więc podwójnie "faworyzowany" przez ucho.
      Subiektywnym odpowiednikiem natężenia fali jest jej głośność. I w tym przypadku nie ma prostej proporcjonalności miedzy wrażeniem słuchowym a natężeniem dźwięku. Zależność ta ma charakter logarytmiczny. W związku z tym wprowadzono wielkość b , nazywaną poziomem natężenia dźwięku. Jej matematyczna definicja jest następująca:
      b =  log
Jednostką tej wielkości jest bel (B). Aby uzyskać głośność jednego bela, natężenie dźwięku musi być równe 10I₀. Jest to jednostka stosunkowo duża i dlatego zwykle używa się jednostki dziesięć razy mniejszej, czyli decybela (dB). Normalnej rozmowie odpowiada poziom rzędu 40 dB; silnik samolotu wytwarza w odległości kilku metrów - dźwięk o głośności 130 dB, osiągając granicę bólu. Jeśli głośność wyrażamy w decybelach, wówczas należy przyjąć definicję: b = 10 log
      Głośności b₁ i b₂ dźwięków pochodzących z dwóch źródeł nie dodają się arytmetycznie:        b₁ + b₂.  Dodają się jedynie natężenia: I = I₁ + I₂.
P r z y k ł a d .   Przypuśćmy, że dźwięk jest wytwarzany przez 5 jednakowych źródeł, znajdujących się blisko siebie. Niech głośność każdego z nich wynosi b₁ = 20 decybeli. Sumaryczna głośność wszystkich źródeł wynosi  b= 10 log(5I₁/I₀) = 10 log 5  + b₁ = 27 dB (a nie 100 dB).