VI 1a fale mechaniczne

 

 

Fizyka - Fale 1a

 

Fale mechaniczne

      Drgania mechaniczne jednego ciała  często przenoszą się na inne ciała, sąsiadujące z nim. Następuje to wtedy, gdy drgające ciało jest częścią jakiegoś ośrodka. Jego cząsteczki są ze sobą powiązane; oddziaływania między nimi powodują powstanie zjawiska, które nazywamy falą. Każda fala jest przestrzennie rozciągła i rozchodzi się jedynie w ośrodku materialnym. W próżni fale mechaniczne nie rozchodzą się, mogą natomiast rozchodzić się w gazach, cieczach i ciałach stałych. Rodzaj ośrodka jest w dużej mierze odpowiedzialny za sposób rozchodzenia się fali.

Ogólna charakterystyka fali

      Źródłem fali jest zawsze jakieś drgające ciało: membrana głośnika, poruszany rytmicznie koniec naprężonej linki lub poruszana rytmicznie w wodzie płytka drewniana. Jeśli drgania źródła mają częstotliwość f, to z taką samą częstotliwością drgają wszystkie punkty fali. Amplituda drgań źródła A zwykle maleje w miarę oddalania się od niego, ale w jego pobliżu zwykle zakłada się, że jej zmiany są niewielkie. Zmniejszanie się amplitudy następuje z dwóch powodów: tarcia towarzyszącego drganiom oraz rozkładaniu się drgań na coraz większą powierzchnię.

      Fala może rozchodzić się w jednym kierunku (jak np. fala biegnąca wzdłuż linki zaczepionej na jednym końcu) lub też w wszystkie strony (jak np. fale dźwiękowe w powietrzu). Prędkość rozchodzenia się fali v zależy od jej rodzaju oraz od rodzaju ośrodka. Np. prędkość dźwięku w powietrzu wynosi ok. 340 m/s, w wodzie - 1500 m/s, zaś w stali - 5130 m/s. Prędkość fali zależy też od temperatury ośrodka (rośnie z jej wzrostem) oraz od częstotliwości samej fali; tę ostatnią zależność nazywa się dyspersją.
Długość fali l  to droga, jaką fala przebywa w ciągu jednego okresu:

      l = vT =

P r z y k ł a d.  Fala głosowa o częstotliwości 1000 Hz ma w powietrzu długość równą l = (340 m/s) /(1000 s^-1 ) = 34 cm. Fala o najniższej częstotliwości odbieranej przez ucho ludzkie (ok. 20 Hz) ma długość l = 17 m, zaś o największej słyszanej częstotliwości (ok. 20 000 Hz) - 17 mm. Tak więc maksymalny zakres długości fal głosowych w powietrzu to obszar: 17 mm ¸ 17 m.
      Matematyczny zapis fali. Jeśli za kierunek rozchodzenia się fali przyjmujemy jako kierunek Ox, a położenie źródła znajduje się w punkcie O, to wychylenie u_o źródła opisane jest wyrażeniem:

      u₀ = A sin wt = A sin

      Drgania w punkcie odległym o x od źródła są opóźnione o czas potrzebny do przebycia tej odległości przez falę, równym x/v. Tę wartość należy odjąć od zmiennej t , występującej w powyższym wzorze. Tak więc wychylenie u z położenia równowagi w punkcie x dane jest wyrażeniem:

      u = A sin w(t - x/v) = A sin
lub też
      u = A sin 2p
           
      Wychylenie jest funkcją periodyczną dwóch zmiennych: czasu (z okresem T) oraz położenia (z okresem l). Wykresy tych zależności przedstawione są na rysunkach.

      Argument funkcji sinus nazywa się fazą fali. Określa ona stan drgania względem np. położenia równowagowego.           

Polaryzacja fal
           
      Fale mechaniczne można podzielić na kilka sposobów zależnie od tego, jaka cechę fali rozpatrujemy. Pierwszy podział związany jest z kierunkiem drgań (polaryzacją fali). Jeśli wychylenie u jest prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali, to mówimy o fali poprzecznej. Gdy drgania zachodzą równolegle do prędkości fali, mamy do czynienia z falami podłużnymi. W ośrodkach stałych rozchodzą się oba rodzaje fal, zwykle jednocześnie. Atomy w tych ośrodkach mają ustalone pozycje równowagowe, wokół których mogą wykonywać drgania w dowolnych kierunkach. W gazach możliwe są jedynie fale podłużne

Fale płaskie i fale kuliste

      Inny podział fal związany jest  kształtem źródła, a pośrednio - z kształtem czoła fali, czyli powierzchni ograniczającej obszar, do którego dotarła fala. Pod tym względem można wyróżnić dwie podstawowe kategorie: fala płaska i fala kulista.
      Czoło fali płaskiej jest płaszczyzną (lub prostą - jak w przypadku fal powierzchniowych). Czoło fali kulistej jest sferą. Taki sam kształt mają inne powierzchnie stałej fazy.

      Fala kulista powstaje wtedy, gdy źródło drgań jest bardzo małe (punktowe) w porównaniu z innymi odległościami. Amplituda fali kulistej maleje odwrotnie proporcjonalnie do odległości od źródła:  A ~  . Wynika to z faktu, że energia źródła rozkłada się na coraz większą ilość oscylatorów. Energia każdego z nich jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy, a ich ilość - do powierzchni czoła fali (proporcjonalnej do kwadratu odległości). Całkowita energia wysyłana przez źródło w jednostce czasu jest stała, zatem kwadrat amplitudy musi być odwrotnie proporcjonalny do kwadratu odległości.
           
Interferencja fal

      Dodawanie fal o tej samej częstotliwości nazywamy interferencją. Jej efektem jest pewna fala wypadkowa o tej samej częstotliwości, której amplituda może zależeć od położenia. Zwykle mamy do czynienia z dodawaniem dwóch fal, ale zjawisko interferencji występuje też i przy większej liczbie fal..
Klasycznym przykładem interferencji jest dodawanie się fal wytwarzanych przez dwa jednakowe źródła punktowe, które drgają synchronicznie. Fale te dochodzą do wszystkich  punktów
 

ośrodka otaczającego źródła. Jeśli w jakimś punkcie przestrzeni (A) dochodzące fale mają zgodne fazy, to ich drgania dodają się i w punkcie tym następuje wzmocnienie. Jeśli fazy obu fal są przeciwne (B), następuje znoszenie się drgań. Różnica faz związana jest z różnicą odległości  Dr danego punktu od obu źródeł. Gdy różnica ta jest równa całkowitej krotności długości fali w tym ośrodku (l), to fazy drgań są zgodne; gdy jest ona równa nieparzystej krotności połowy długości fali, fazy drgań są przeciwne:
 

wzmocnienie: wygaszenie:

Dr = nl Dr = (n+1/2) l

(n = 0, 1, 2, . . . ) (n = 0, 1, 2, . . . )

 

      W rezultacie wzdłuż pewnych linii następuje wzmocnienie drgań; między nimi znajdują się linie, wzdłuż których następuje znoszenie się fal.

Fale stojące

      Innym popularnym przykładem interferencji jest proces powstawania fali stojącej, będącej wynikiem dodania się dwóch jednakowych fal biegnących w przeciwne strony.  Sytuacja taka ma miejsce na przykład wtedy, gdy fala generowana przez źródło punktowe dodaje się z falą odbitą.

 

      W wyniku dodania się tych fal powstaje charakterystyczny obraz interferencyjny, złożony z regularnie powtarzających się segmentów. Długość każdego z nich równa jest połowie długości fali. Amplituda drgań zmienia się sinusoidalnie. Najmniejszą (zerową) wartość osiąga w punktach zwanych węzłami, największą (równą dwukrotnej amplitudzie drgań źródła) - w punktach zwanych strzałkami. Matematycznym wyrazem tego procesu jest dodanie dwóch fal sinusoidalnych o przeciwnie skierowanych prędkościach:

      u = A sin + A sin= [2A cos (2p )] sin ().

      Wyraz w nawiasie kwadratowym ma sens amplitudy drgań opisywanych funkcją sin ( ). Amplituda ta zależy od położenia, a jej wykresem jest obwiednia fali stojącej.