układy równań - metody rozwiązywania

Metody rozwiązywania układu równań pierwszego stopnia

Istnieje kilka metod rozwiązania układu równań pierwszego stopnia.

1. Metoda podstawiania.
   
   W metodzie tej z jednego z równań wyznaczamy jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzymaną zależność wstawiamy do drugiego równania. Otrzymujemy w ten sposób równanie z jedną niewiadomą i rozwiązujemy je. Na koniec z otrzymanej w pierwszym kroku zależności między niewiadomymi wyznaczamy drugą niewiadomą.
   
   Przykład:
   Rozwiąż układ równań metodą podstawienia:
   
   Rozwiązanie:
   Z drugiego równania wyznaczamy zmienną  w zależności od  i otrzymane wyrażenie podstawiamy do równanie pierwszego:
   
   Odp. Rozwiązaniem danego układu jest para liczb:   .
   
   
2. Metoda przeciwnych współczynników.
   
   W metodzie tej równania układu mnożymy przez tak dobrane liczby, aby przy jednej z niewiadomych uzyskać współczynniki będące liczbami przeciwnymi. Następnie równania dodajemy stronami i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązujemy to równanie, a na koniec wyznaczamy drugą niewiadomą z jednego z równań układu.
   
   Przykład:
   Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników :  
   
   Rozwiązanie:
   Aby współczynniki przy zmiennej  były liczbami przeciwnymi pomnożymy stronami pierwsze równanie przez liczbę , a drugie równanie przez liczbę :
   
   Teraz równania dodajemy stronami i otrzymujemy:
   .
   
   Z pierwszego równania wyznaczamy  dla obliczonego :
   .
   Odp. Rozwiązaniem danego układu jest para liczb: .
   
   
3. Metoda graficzna (przybliżona).
   
   Wiadomo, że obrazem graficznym równania z dwiema niewiadomymi jest prosta. Rysuje się więc w jednym układzie współrzędnych wykresy każdego z równań i odczytuje współrzędne punktów wspólnych dla obu prostych.
   Rysunek 49a.jpg
   Para liczb  będąca współrzędnymi punktu przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu równań.

Ilość rozwiązań danego układu zależy od wzajemnego położenia prostych będących obrazami każdego z równań układu:

• Proste przecinające się  -  układ ma jedno rozwiązanie.
  
• Proste pokrywające się  -  układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
  
• Proste równoległe  -  układ nie ma rozwiązań.