rozwiązywanie równań i nierówności

Rozwiązywanie równań i nierówności

Do rozwiązywania równań (nierówności) wykorzystuje się tzw. twierdzenia o równaniach (nierównościach) równoważnych.


Dwa równania nazywamy równoważnymi w zbiorze D wtedy i tylko wtedy, gdy oba są określone w zbiorze D i mają ten sam zbiór rozwiązań w tym zbiorze

Twierdzenie 1.
Jeśli wykonamy działania wskazane po lewej lub prawej stronie równania (nierówności), to otrzymamy równanie (nierówność) równoważne danemu.

Twierdzenie 2.
Jeżeli do obu stron równania (nierówności) dodamy lub od obu stron równania (nierówności) odejmiemy tę samą liczbę lub to samo wyrażenie, które nie zmienia dziedziny równania (nierówności), to otrzymamy równanie (nierówność) równoważne danemu.

Twierdzenie 3a. (tylko dla równań)
Jeżeli obie strony równania pomnożymy (lub podzielimy) przez tę samą liczbę lub przez to samo wyrażenie, które nie zmienia dziedziny równania i którego wartość jest różna od zera, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

Twierdzenie 3b. (tylko dla nierówności)
Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy (lub podzielimy) przez tę samą liczbę dodatnią lub przez to samo wyrażenie, które nie zmienia dziedziny nierówności i które przyjmuje tylko wartości dodatnie dla argumentów z dziedziny nierówności, to otrzymamy nierówność równoważną danej.

Twierdzenie 3c. (tylko dla nierówności)
Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy (lub podzielimy) przez tę samą liczbę ujemną lub przez to samo wyrażenie, które nie zmienia dziedziny nierówności i które przyjmuje tylko wartości ujemne dla argumentów z dziedziny nierówności oraz zmienimy zwrot nierówności, to otrzymamy nierówność równoważną danej.