równania liniowe

Równania liniowe


Równania liniowe z jedną niewiadomą.

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie postaci:

a^.x + b = 0, gdzie .

Liczby a i b nazywamy współczynnikami równania:
a - współczynnik przy niewiadomej x,
b - wyraz wolny.


Rozwiązanie równania sprowadza się do przekształcania go na coraz prostsze równania równoważne, które otrzymuje się poprzez:

1. Wykonanie działań wskazanych po jednej lub obu stronach równania (twierdzenie 1 o równaniach równoważnych).
   
   
2. Przenoszenie ze znakiem przeciwnym wyrazów zawierających niewiadome na jedną stronę równania, a wyrazów zawierających wiadome na drugą stronę równania (twierdzenie 2 o równaniach równoważnych).
   
   
3. Mnożenie lub dzielenie obu stron równania przez liczbę różną od zera (twierdzenie 3a o równaniach równoważnych).
   
   Równanie liniowe z jedną niewiadomą może mieć jedno rozwiązanie lub nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązań.
   
   
   Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, które spełnia jedna liczba rzeczywista nazywamy równaniem oznaczonym.
   
   Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, które spełniają wszystkie liczby rzeczywiste nazywamy równaniem tożsamościowym lub tożsamością.
   
   Równanie pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, którego nie spełnia żadna liczba rzeczywista nazywamy równaniem sprzecznym.
   
   Ilość rozwiązań równania liniowego zależy od wartości współczynników a  i b. Zależność tę przedstawia tabela:
   
   

   Założenia	Postać równania	Rozwiązanie	Zbiór rozwiązań	Nazwa równania
   				Oznaczone
   		Każda liczba rzeczywista	R	Tożsamościowe (nieoznaczone)
   		Brak	Zbiór pusty	Sprzeczne

   
   
   Przykład:
   Rozwiąż równania, a następnie określ ich rodzaj:
   
   1. 
      
   2. 
      
   3. 
   
   Rozwiązanie:
   
   
   
   1. Równanie to rozwiążemy przekształcając je na prostsze równania równoważne, wykorzystując twierdzenia o równaniach równoważnych:
      
      
      1. Pomnożymy obie strony równania przez :
         
         
      2. Wykonamy działania wskazane z lewej strony równania:
         
         
      3. Przeniesiemy ze znakiem przeciwnym niewiadome na lewą stronę równania, a wiadome na prawą stronę:
         
         
      4. Znów wykonamy działania wskazane po obu stronach równania:
         
         
      5. Podzielimy obie strony równania przez ( -14):
         
         
         Rozwiązaniem równania jest jedna liczba rzeczywista, więc jest to równanie oznaczone.
      
      
   2. 
      
      
      Podobnie jak w przykładzie a. :
      
      
      Równanie to jest spełnione dla każdej liczby rzeczywistej, więc jest to równanie tożsamościowe.
      
      
   3. 
      
      
      Podobnie jak w przykładzie a. :
      
      
      Równanie to jest równaniem sprzecznym, nie spełnia go żadna liczba rzeczywista.
   
   
   Równania liniowe z dwiema niewiadomymi
   
   Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci:
   
   
   
   gdzie współczynniki  (współczynniki a i  b nie mogą jednocześnie być zerami).
   
   Np.
   
   
   
   Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi x i y jest para (x₀ , y₀) wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu do tego równania x₀ w miejsce xoraz y₀ w miejsce y otrzymuje się równość prawdziwą.
   
   Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.
   
   Obrazem graficznym (wykresem) zbioru rozwiązań równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.