równania i nierówności wymierne15

Matematyka - Równania i nierówności 15

Równania i nierówności wymierne.

Równania wymierne.

Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci:



gdzie  i  są wielomianami i  nie jest wielomianem zerowym.

Dziedzina równania wymiernego.

Dziedziną równania wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu  znajdującego się w mianowniku wyrażenia :



Rozwiązanie równania wymiernego sprowadza się do rozwiązania równania algebraicznego
z uwzględnieniem, że otrzymane rozwiązania należą do dziedziny równania wymiernego.

Zatem:


Schemat rozwiązywania równań wymiernych.

Rozwiązanie równania wymiernego przeprowadza się według schematu:

1. Rozłożenie na czynniki wielomianów występujących w mianownikach i ustalenie dziedziny równania.

2. Wyznaczenie wspólnego mianownika dla wszystkich wyrażeń wymiernych występujących w równaniu.

3. Pomnożenie obydwu stron równania przez wspólny mianownik.

4. Rozwiązanie otrzymanego równania algebraicznego.

5. Sprawdzenie, które z otrzymanych rozwiązań równania algebraicznego należą do dziedziny równania wymiernego.

6. Sformułowanie odpowiedzi.

Przykład:
Rozwiąż równanie: 

Rozwiązanie:
Rozwiązanie równania przebiega według przedstawionego schematu.

1. Rozkładamy mianowniki na czynniki i wyznaczamy dziedzinę równania:



Otrzymujemy równanie:


Dziedziną danego równania jest zbiór:


2. Wyznaczamy wspólny mianownik:


3. Mnożymy równanie stronami przez wspólny mianownik  i otrzymujemy równanie algebraiczne:



4. Rozwiązujemy otrzymane równanie algebraiczne:

      

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

Rozwiązaniem równania kwadratowego są liczby:  i

5. Sprawdzamy, który z otrzymanych pierwiastków należy do dziedziny równania wymiernego:

,  . Jedynym pierwiastkiem równania wymiernego jest więc liczba
Odp. Rozwiązaniem danego równania jest liczba