równania i nierówności trygonometryczne 3

Matematyka - Równania i nierówności trygonometryczne 3
Nierówności trygonometryczne

      Nierównością trygonometryczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje wyłącznie jako argument funkcji trygonometrycznych.
 
Proste nierówności trygonometryczne

      Proste nierówności trygonometryczne rozwiązuje się w oparciu o wykresy odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Przy konstruowaniu odpowiedzi należy pamiętać o okresowości funkcji trygonometrycznych.
1.

1. Dla  nierówność jest sprzeczna - .
   
2. Dla  jest to nierówność bezwarunkowa (spełniona zawsze) - .
   
3. Dla  rozwiązanie nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .
   

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .
Nierówność  rozwiązuje się analogicznie.
 
2.

1. Dla  nierówność jest sprzeczna - .
   
2. Dla  jest to nierówność bezwarunkowa (spełniona zawsze) - .
   
3. Dla  rozwiązanie nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .
   

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .
Nierówność rozwiązuje się analogicznie
 
3.

1. Dla  nierówność jest sprzeczna - .
   
2. Dla  jest to nierówność bezwarunkowa (spełniona zawsze) - .
   
3. Dla  rozwiązanie nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .
   

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .
Nierówność  rozwiązuje się analogicznie.
 
4.

1. Dla  nierówność jest sprzeczna - .
   
2. Dla  jest to nierówność bezwarunkowa (spełniona zawsze) - .
   
3. Dla  rozwiązanie nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .
Nierówność  rozwiązuje się analogicznie
 
5.
Rozwiązanie tej nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .
Rozwiązanie nierówności , jest zbiór:
, gdzie .
 
6.
Rozwiązanie tej nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .

 
Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .
Rozwiązanie nierówności , jest zbiór:
, gdzie .
 
7.
Rozwiązanie tej nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .
Rozwiązanie nierówności , jest zbiór:
, gdzie .
 
8.
Rozwiązanie tej nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .
Rozwiązanie nierówności , jest zbiór:
, gdzie .
 
Przykład:
Rozwiąż nierówności:
a)      b)  ,    c)  ,    d)  .
 
Rozwiązanie:
a) Ponieważ   dla  , więc rozwiązaniem danej nierówności jest:
, gdzie ,
gdyż .
b) Ponieważ dla , więc rozwiązaniem danej nierówności jest:
, gdzie ,
gdyż .
c) Ponieważ  dla , więc rozwiązaniem danej nierówności jest:
, gdzie .
d) Ponieważ  dla , więc rozwiązaniem danej nierówności jest:
, gdzie .
 
Dowolne nierówności trygonometryczne

      Rozwiązywanie dowolnej nierówności trygonometrycznej polega (podobnie jak przy równaniach trygonometrycznych) na takim przekształcaniu tej nierówności (przy pomocy wzorów trygonometrycznych i algebraicznych), aby doprowadzić ją do koniunkcji prostych nierówności trygonometrycznych. Często korzysta się też z metody podstawiania.
 
Przykład:
Rozwiąż nierówności:
a) ,    b) ,
c) .
 
Rozwiązanie:
a) Najpierw przeniesiemy jedynkę na obie strony nierówności podwójnej:

Teraz  zamienimy na kofunkcję - i zastosujemy wzór na różnicę sinusów:
.
Ponieważ , więc otrzymujemy:
.
Dzielimy nierówność stronami przez  i otrzymujemy:
.
Ponieważ:  i , więc dana nierówność jest spełniona zawsze, czyli .
b) .
      Najpierw przekształcimy daną nierówność korzystając ze wzorów trygonometrycznych i algebraicznych:


      Ponieważ dla każdej wartości zmiennej , więc aby nierówność była spełniona drugi czynnik  musi być dodatni:
.
      Rozwiązanie tej alternatywy prostych nierówności można odczytać z wykresu funkcji :
, gdzie .
c) .
      Najpierw przekształcimy daną nierówność korzystając ze wzorów trygonometrycznych i algebraicznych:
.
Ale   oraz  , więc otrzymujemy:
.
      Ponieważ zbiorem wartości sinusa jest przedział , więc nierówność jest sprzeczna.