równania i nierówności trygonometryczne 2

Matematyka - Równania i nierówności trygonometryczne 2

Rozwiązanie dowolnego równania trygonometrycznego
 
Metoda rozwiązywanie dowolnego równania trygonometrycznego jest zależna od typu tego równania. Zostaną omówione trzy z nich.
 
1. Równania dające się sprowadzić do postaci: , gdzie  jest jedną z funkcji trygonometrycznych , a  i  są funkcjami zmiennej .
 
Rozwiązanie takiego równania polega na skorzystaniu z zależności zamieszczonych w tabeli:

Równanie	Rozwiązanie	Założenia
	lub	brak
	lub	brak
		i ,
		i ,

Gdy po dwóch stronach równania trygonometrycznego wystąpi funkcja i odpowiadająca jej kofunkcja tzn.:

lub

to jedną z tych funkcji zamieniamy na kofunkcję np.:

lub
.
i powstałe równanie rozwiązujemy zgodnie z zależnościami zamieszczonymi w tabeli:
 
Przykład:
Rozwiąż równania:  a) ,    b) .
 
Rozwiązanie:
Równania powyższe rozwiązujemy zgodnie z zależnościami przedstawionymi w tabeli.
 
a)      lub   
    lub   
    lub   
Odp.     lub    .
b) Najpierw należy zapisać założenia:
   Ű        Ű    
Teraz jedną z funkcji (np. cotangens) zamieniamy na kofunkcję:
 Ű     
 
Korzystamy z zależności z tabeli i otrzymujemy:

Uwzględniając założenia otrzymujemy:
.
Odp. 
 
2. Równania trygonometryczne dające się sprowadzić do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych.
      Rozwiązywanie dowolnego równania trygonometrycznego polega w tej metodzie na takim przekształcaniu tego równania (przy pomocy wzorów trygonometrycznych i algebraicznych), aby po prawej stronie równania otrzymać 0, a lewą przedstawić w postaci iloczynu prostych czynników (tzn. doprowadzić równanie do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych), np.:

      Dalsze rozwiązanie równania polega na wykorzystaniu własności zera jako czynnika - iloczyn kilku czynników jest równy zero, gdy co najmniej jeden z nich jest równy zero:
.

Przykład:
Rozwiąż równania:  a).
Rozwiązanie:
a) Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i ze wzoru na sinus podwojonego argumentu:

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych:

Mnożymy równanie stronami przez liczbę 2 i korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego argumentu:

Wyciągamy przed nawias wspólny czynnik :

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
    Ű          Ű     Ű     

Otrzymaliśmy alternatywą elementarnych równań trygonometrycznych, których rozwiązaniami są:
<.
Rozwiązanie to można podać w prostszej postaci, ponieważ kąty  w okresie  
są położone w odległości  jeden od drugiego. Tak więc:
, gdzie .
 
3. Równania dające się rozwiązać metodą zmiennej pomocniczej (metodą podstawienia)
 
Rozwiązanie równania trygonometrycznego postaci:
  lub      lub      lub  
polega na zastosowaniu podstawienia:
   lub      i   ,
   lub     i  
i rozwiązaniu równania: 
.
Po rozwiązaniu tego równania wracamy do zmiennej .
 
Założenia dotyczące zmiennej wynikają ze zbiorów wartości funkcji trygonometrycznych


 
Przykład:
Rozwiąż równanie:    .
 
Rozwiązanie:
Korzystamy najpierw ze wzoru na sinus podwojonego argumentu:

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i zamieniamy na :

Wykonujemy mnożenie i przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych:

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe, które rozwiążemy przy pomocy zmiennej pomocniczej:

Należy teraz rozwiązać równanie kwadratowe:  .
.
Stąd otrzymujemy:

Rozwiązaniem powyższej alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych są liczby:
.
Reasumując:
, gdzie .