równania i nierówności n-tego stopnia 13-14

Matematyka - Równania i nierówności 13-14

Nierówności algebraiczne -tego stopnia.

Nierównością algebraiczną nazywamy każdą nierówność postaci:



gdzie  jest wielomianem.

Nierówności algebraiczne rozwiązuje się w dwóch etapach:

1. Rozłożenie na czynniki wielomianu znajdującego się po lewej stronie nierówności, co zostało
omówione w punkcie: Równania algebraiczne -tego stopnia.

2. Właściwe rozwiązanie nierówności.


Metody rozwiązywania nierówności wielomianowej, po rozłożeniu wielomianu na czynniki.

a) Metoda algebraiczna:

Wykorzystuje się w niej własności iloczynu. Znak iloczynu zależy od znaków jego czynników. Iloczyn nieparzystej liczby czynników ujemnych jest ujemny, iloczyn parzystej liczby czynników ujemnych jest dodatni.
Przykładowo, gdy w rozkładzie wielomianu w nierówności występują dwa czynniki, należy rozwiązać alternatywę warunków. Np. dla nierówności:


otrzymujemy:
  lub  

Suma rozwiązań obu układów nierówności jest rozwiązaniem danej nierówności wielomianowej.

Metoda ta jest uciążliwa, zwłaszcza dla większej liczby czynników występujących w rozkładzie wielomianu.

Przykład:
Rozwiąż nierówność:  

Rozwiązanie:



b) Metoda siatki znaków:

W metodzie tej porządkuje się miejsca zerowe wielomianu od najmniejszego do największego. Następnie, jeśli , to tworzy się przedziały:

Teraz określa się znaki czynników w poszczególnych przedziałach, a następnie ustala znak wielomianu  w tych przedziałach.

Wyniki zapisuje się w tabelce zwanej siatką znaków

W pierwszej kolumnie tabeli wpisuje się kolejne czynniki iloczynu, a w pierwszym wierszu kolejne przedziały.

W kratkach tabeli wpisuje się znaki czynników dla zmiennej należącej do poszczególnych przedziałów.

W ostatnim wierszu wpisuje się znaki wielomianu w poszczególnych przedziałach (zlicza się liczbę minusów w danej kolumnie - gdy jest to liczba parzysta, wielomianowi przypisuje się znak dodatni, gdy jest to liczba nieparzysta, znak ujemny).

Np., gdy po rozłożeniu na czynniki wielomianu występującego w nierówności otrzymamy:



to układamy następującą siatkę znaków (przyjmujemy, że ):

		+	+	+	+
	+	+	+	+	+
				+	+
					+
		+	+		+

 
Rozwiązanie odczytujemy z ostatniego wiersza:




Przykład:
Rozwiąż nierówność: 

Rozwiązanie:
Pierwiastki w kolejności: Buduje się teraz siatkę znaków:

	+	+	+	+	+
			+	+	+
				+	+
					+
			+		+

 
Odp. Odpowiedź odczytuje się z dolnego wiersza tabeli :




c) Metoda graficzna:

Polega ona na naszkicowaniu prowizorycznego wykresu wielomianu , przy czym nie jest ważny faktyczny kształt wykresu, a jedynie znaki wielomianu w poszczególnych przedziałach.

Rysuje się oś liczbową i zaznacza na niej wszystkie pierwiastki wielomianu
Szkicowanie wykresu rozpoczyna się na prawo od największego pierwiastka. Najpierw należy ustalić znak wielomianu dla zmiennych o wartościach większych od największego pierwiastka (np. przez podstawienie liczby większej od największego pierwiastka w miejsce zmiennej w wielomianie lub licząc ilość minusów przed zmiennymi). Jeśli wielomian jest tam dodatni, szkicowanie zaczyna się ponad osią, gdy jest ujemny - pod osią. Następnie korzysta się z zasady:

- w otoczeniu każdego pierwiastka o nieparzystej krotności wielomian zmienia znak,

- w otoczeniu każdego pierwiastka o krotności parzystej wielomian nie zmienia znaku.

Na zakończenie z wykonanego wykresu odczytuje się rozwiązanie nierówności.
Np. dana jest nierówność:


Szkicujemy przybliżony wykres (tzw. wężyk) pamiętając, że pierwiastki  są nieparzystokrotne (wielomian zmienia znak), a pierwiastek  jest parzystokrotny (wielomian nie zmienia znaku):


Z wykresu odczytujemy rozwiązanie:


Przykład:
Rozwiąż nierówność:   

Rozwiązanie:
Pierwiastki:  są pierwiastkami nieparzystokrotnymi (wielomian zmienia znak),
Pierwiastki:   są pierwiastkami parzystokrotnymi (wielomian nie zmienia znaku).

Szkicujemy wykres wielomianu:


Z wykresu odczytujemy rozwiązanie danej nierówności: