równania i nierówności n-tego stopnia 12

Matematyka - Równania i nierówności 12

Twierdzenie o pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu są całkowite i  wielomian ten posiada pierwiastki wymierne postaci , to liczba  jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a liczba  jest  dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze . Gdy dodatkowo współczynnik przy najwyższej potędze jest równy jedności , to wymierne pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych są podzielnikami wyrazu wolnego

Przykład:
Rozwiąż równania:
a) 
b) 


Rozwiązanie:
a) W równaniu tym można wyciągnąć przed nawias wspólny czynnik -



a następnie pogrupować wyrazy:  i wyciągnąć w każdej grupie wspólny czynnik:



Na koniec można skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:



Z powyższego rozkładu na czynniki wynika, że pierwiastkami równania są liczby:




b) Równanie to można rozwiązać korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu. Dany wielomian ma współczynniki całkowite i współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, a więc pierwiastków całkowitych wielomianu należy szukać wśród podzielników jego wyrazu wolnego:


Należy teraz kolejno podstawiać te liczby w miejsce zmiennej, aby sprawdzić, która z nich jest pierwiastkiem wielomianu  znajdującego się po lewej stronie równania:



Z tego wynika, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu. Należy teraz wielomian  podzielić przez dwumian :



Wynika stąd, że

Należy teraz szukać pierwiastków wielomianu. Znów można skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu. Wyrazy wolne wielomianów  i  są takie same, więc mają takie same podzielniki:



Nie należy obliczać , ponieważ skoro , to również .Trzeba obliczyć , ponieważ liczba  może być pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu.



Liczba  jest pierwiastkiem wielomianu (a więc również wielomianu ). Należy teraz podzielić wielomian  przez dwumian :



Wynika stąd, że

Należy teraz wyznaczyć pierwiastki wielomianu , który jest trójmianem kwadratowym:



Wielomian można więc przedstawić w postaci iloczynowej: .

Odp. Pierwiastkami wielomianu  są:
 
 (pierwiastki jednokrotne) i (pierwiastek dwukrotny).