równania i nierówności logarytmiczne 19

Matematyka - Równania i nierówności 19

Nierówności logarytmiczne.

Nierówność, w której niewiadoma występuje w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu nazywamy nierównością logarytmiczną.

Metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych są analogiczne do metod rozwiązywania podobnych równań logarytmicznych. Jedyną różnicę stanowi sposób przechodzenia z nierówności logarytmów do nierówności liczb logarytmowanych.

Ponieważ dla  funkcja logarytmiczna jest malejąca, więc:



czyli opuszczając logarytmy dla  zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

Ponieważ dla  funkcja logarytmiczna jest rosnąca, więc:



czyli opuszczając logarytmy dla   znak nierówności pozostawiamy bez zmian.

Przykład:
Rozwiąż nierówność:  

Rozwiązanie:

Rozwiązywanie każdej nierówności logarytmicznej należy rozpocząć od założeń wynikających z definicji logarytmu (dodatnia liczba logarytmowana, dodatnia i różna od jedynki podstawa logarytmu). Dla danej nierówności otrzymujemy:



Rozwiązując daną nierówność skorzystamy z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu i z własności logarytmu dotyczącej dodawania logarytmów:



Doprowadziliśmy daną nierówność do postaci, w której po obu jej stronach znajdują się logarytmy o tej samej podstawie. Można teraz nierówność logarytmów zastąpić nierównością wyrażeń logarytmowanych, pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny, ponieważ podstawa logarytmu:



Należy rozwiązać teraz nierówność kwadratową:


Rozwiązaniem nierówności kwadratowej jest przedział:
Uwzględniając założenia ( ) otrzymujemy:



Metoda podstawienia.

Rozwiązanie nierówności logarytmicznej postaci:

 lub  lub  lub

polega na zastosowaniu podstawienia (podobnie jak w analogicznych równaniach logarytmicznych):



i rozwiązaniu odpowiedniej nierówności:

 lub lub  lub

Po rozwiązaniu tej nierówności wracamy do zmiennej

Zmienna pomocnicza  może przyjmować wszystkie wartości rzeczywiste, ponieważ zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych


Przykład:
Rozwiąż nierówność: 
Rozwiązanie:

Dziedziną tego równania jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich:

Rozwiązywanie tej nierówności należy rozpocząć od przekształcenia wyrażenia :



Po zastąpieniu otrzymanym wyrażeniem:

   

Można teraz zastosować podstawienie: , 
Otrzymujemy:

czyli nierówność kwadratową.



Rozwiązaniem powyższej nierówności kwadratowej jest zbiór: 

Wracając do podstawienia otrzymujemy:

           

Uwzględniając założenie, że  oraz, że  otrzymujemy: