równania i nierówności liniowe 5

Matematyka - Równania i nierówności 5

Układy równań pierwszego stopnia z trzema niewiadomymi.

Układ równań:


gdzie  i , nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi

Rozwiązaniem  układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi nazywamy każdą trójkę liczb
, która spełnia jednocześnie wszystkie trzy równania układu.

Rozwiązanie układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi polega na wyznaczeniu wszystkich jego rozwiązań albo stwierdzeniu, że zbiór rozwiązań jest pusty.

Do rozwiązania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi można stosować metodę podstawienia, przeciwnych współczynników oraz wyznaczników.

 
Metoda wyznaczników.

Dla układu trzech równań z trzema niewiadomymi buduje się następujące wyznaczniki:

     zwany wyznacznikiem głównym układu,

     zwany wyznacznikiem zmiennej

      zwany wyznacznikiem zmiennej

    zwany wyznacznikiem zmiennej

Jeśli wyznacznik główny , to rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb  taka, że:



Metoda obliczania wyznacznika trzeciego stopnia.

Do obliczania wyznacznika trzeciego stopnia stosuje się tzw. metodę Sarrusa. Polega ona na tym, że za wyznacznikiem dopisujemy jego pierwszą i drugą kolumnę, a następnie tworzymy iloczyny zgodnie ze schematem:





Nierówności liniowe.

Nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy każdą z nierówności postaci:

   gdzie

Zbiór rozwiązań tej nierówności zależy od współczynników  i :

1. Dla  rozwiązaniem jest przedział lewostronnie nieograniczony lub przedział prawostronnie  nieograniczony (nierówność oznaczona).

2. Dla  nierówność jest prawdziwa dla wszystkich (nierówność tożsamościowa),  lub jest sprzeczna.

Przykład:
Rozwiąż nierówności:
a) , 
b) , 
c)

Rozwiązanie:
a)
b)
c)

Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi.

Nierówności postaci:

,  ,  ,  ,

gdzie nazywamy nierównościami liniowymi (pierwszego stopnia) z dwiema niewiadomymi.

Para  spełnia nierówność liniową z dwiema niewiadomymi wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu do tej nierówności  w miejsce  i  w miejsce otrzymamy zdanie prawdziwe.

Rozwiązaniem nierówności z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb spełniających nierówność.

Obrazem graficznym(wykresem) zbioru rozwiązań nierówności liniowej z dwiema niewiadomymi jest półpłaszczyzna o krawędzi określonej równaniem  (wraz z tą krawędzią, jeśli nierówność jest nieostra, lub bez krawędzi, jeśli nierówność jest ostra).

Przykładowe obrazy graficzne zbiorów rozwiązań nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi przedstawiają rysunki: