równania i nierówności liniowe 3-4

Matematyka - Równania i nierówności 3-4

Metody rozwiązywania układu równań pierwszego stopnia.

Istnieje kilka metod rozwiązania układu równań pierwszego stopnia.

1. Metoda podstawiania.

W metodzie tej z jednego z równań wyznaczamy jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzymaną zależność wstawiamy do drugiego równania. Otrzymujemy w ten sposób równanie z jedną niewiadomą i rozwiązujemy je. Na koniec z otrzymanej zależności między niewiadomymi wyznaczamy drugą niewiadomą.

Przykład:
Rozwiąż układ równań metodą podstawienia:

Rozwiązanie:
Z drugiego równania wyznaczamy zmienną  w zależności od i otrzymane wyrażenie podstawiamy do równanie pierwszego:



Odp. Rozwiązaniem danego układu jest para liczb: 

2. Metoda przeciwnych współczynników.

Mnożymy równania układu przez tak dobrane liczby, aby przy jednej z niewiadomych uzyskać przeciwne współczynniki. Następnie dodajemy równania stronami i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązujemy to równanie, a na koniec wyznaczamy drugą niewiadomą.

Przykład:
Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników :  

Rozwiązanie:
Aby współczynniki przy zmiennej  były liczbami przeciwnymi pomnożymy stronami pierwsze równanie przez liczbę , a drugie równanie przez liczbę :


Teraz równania dodajemy stronami i otrzymujemy:



Z pierwszego równania wyznaczamy  dla obliczonego :



Odp. Rozwiązaniem danego układu jest para liczb:  

3. Metoda wyznaczników.

Metoda ta polega na zastosowaniu wyznaczników.

Dla układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi buduje się następujące wyznaczniki:

 zwany wyznacznikiem głównym układu,

 zwany wyznacznikiem zmiennej x,

zwany wyznacznikiem zmiennej y.

Jeśli wyznacznik główny , to rozwiązaniem układu równań jest para liczb  taka, że:



Jeśli wyznacznik główny układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest różny od zera ( ), to układ ten nazywamy układem Cramera, a powyższe wzory na wyznaczanie pary  wzorami Cramera.

Sposób obliczania wyznaczników.

Każdy wyznacznik obliczamy w następujący sposób:



Przykład.
Rozwiąż metodą wyznaczników układ równań: 
Rozwiązanie:

Najpierw trzeba przekształcić oba równania układu do prostszej postaci:

  

Teraz już można skorzystać z metody wyznaczników:

         ,



Obliczamy  i :

Odp. Rozwiązaniem układu jest para liczb: 


4. Metoda graficzna (przybliżona).

Wiadomo, że obrazem graficznym równania z dwiema niewiadomymi jest prosta. Rysuje się więc w jednym układzie współrzędnych wykresy każdego z równań i odczytuje współrzędne punktów wspólnych dla obu prostych.



Para liczb będąca współrzędnymi punktu przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu równań.
Ilość rozwiązań danego układu zależy od wzajemnego położenia prostych będących obrazami każdego z równań układu.

Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Warunki	Liczba rozwiązań	Rozwiązanie	Ilustracja graficzna	Nazwa układu
	Jedno		Proste przecinające się	Oznaczony (układ równań niezależnych)
i	Nieskończenie Wiele	Para liczb taka, że:	Proste pokrywające się	Nieoznaczony (układ równań zależnych)
i	Brak rozwiązań	Brak	Proste równoległe	Sprzeczny

 

Przykład:
Przedyskutuj ilość rozwiązań układu równań w zależności od parametru m:  
Rozwiązanie:
Skorzystamy z metody wyznaczników.



Dyskusja:

1. Dla  układ ma jedno rozwiązanie.

Rozwiązaniem układu jest para liczb:

2. Dla , czyli  lub mogą zachodzić dwa przypadki - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub układ nie ma rozwiązań.

a) Dla   otrzymujemy   i   co oznacza, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Oba równania w tym przypadku są identyczne i mają postać. Rozwiązaniem są więc wszelkie pary liczb

b) Dla  otrzymujemy  (jednocześnie ), co oznacza, że układ nie ma rozwiązań.

Odp. Dany układ równań:  
1.ma jedno rozwiązanie dla ):

2.ma nieskończenie wiele rozwiązań dla

3.nie ma rozwiązań dla