równania i nierówności liniowe 2

Matematyka - Równania i nierówności 2

Równania i nierówności liniowe

Równania liniowe z jedną niewiadomą.

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą  nazywamy równanie postaci:

, gdzie

Liczby i  nazywamy współczynnikami równania:
 - współczynnik przy niewiadomej ,
 - wyraz wolny.

Ilość rozwiązań równania liniowego zależy od wartości współczynników  i . Zależność tę przedstawia tabela:

Założenia	Postać równania	Rozwiązanie	Zbiór rozwiązań	Nazwa równania
				Oznaczone
		każda liczba rzeczywista	R	Tożsamościowe (nieoznaczone)
		brak		Sprzeczne

Z powyższej tabeli wynika, że równanie liniowe może mieć jedno rozwiązanie lub nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązań.

Przykład:
Przedyskutuj ilość rozwiązań równania:   w zależności od wartości parametru

Rozwiązanie:
Najpierw należy przekształcić dane równanie do postaci



Teraz można przejść do dyskusji:

1. Równanie liniowe ma jedno rozwiązanie, gdy współczynnik przy niewiadomej jest różny od zera.



Dla    równanie ma jedno rozwiązanie

2. Jeśli  lub  (współczynnik przy niewiadomej jest równy zero), to równanie może być tożsamościowe lub sprzeczne.

a) Dla  otrzymujemy równanie , a więc równanie tożsamościowe, które ma nieskończenie wiele rozwiązań.

b) Dla  otrzymujemy równanie , a więc równanie sprzeczne, które nie ma rozwiązań.

Odp. Dane równanie ma jedno rozwiązanie  dla
          nieskończenie wiele rozwiązań dla ,
          nie ma rozwiązań .


Równania liniowe z dwiema niewiadomymi.

Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci:



gdzie współczynniki

Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi  i  jest para  wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu do tego równania w miejsce  oraz  w miejsce  otrzymuje się zdanie prawdziwe.

Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Obrazem graficznym (wykresem) zbioru rozwiązań równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.



Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ równań:


gdzie , nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi i

Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb
, która spełnia jednocześnie oba równania układu.

Jeśli niewiadomych (i równań) jest więcej, to rozwiązaniem nazywamy odpowiednio trójkę, czwórkę itd. liczb spełniających wszystkie równania.

Rozwiązanie układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi polega na wyznaczeniu wszystkich jego rozwiązań albo stwierdzeniu, że zbiór rozwiązań jest pusty.

Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może:

1. mieć jedno rozwiązanie postaci pary liczb

2. mieć nieskończenie wiele rozwiązań (nieskończenie wiele par liczb),

3. nie mieć rozwiązań

Ilość rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zależy od wartości współczynników obu równań liniowych układu.