równania i nierowności kwadratowe 9

Matematyka - Równania i nierówności 9

Nierówności kwadratowe

Nierównością kwadratową z jedną niewiadomą  nazywamy każdą nierówność postaci:

,        ,    gdzie 

Aby rozwiązać nierówność kwadratową z jedną niewiadomą należy obliczyć pierwiastki trójmianu znajdującego się po lewej stronie tej nierówności, a następnie naszkicować wykres tego trójmianu. Z wykresu odczytuje się przedziały, w których funkcja przyjmuje zadane w nierówności wartości (ujemne, dodatnie, nieujemne, niedodatnie). Przykładowo dla nierówności:

szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry i miejscach zerowych :



a następnie odczytujemy rozwiązanie z wykresu: 

Przykład 1:
Rozwiąż nierówność: 

Rozwiązanie:

Należy wyznaczyć pierwiastki trójmianu:

Teraz trzeba naszkicować parabolę i odczytać zbiór rozwiązań:


Odp.

Zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej.

Zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej zależy od współczynników  i może być:

1. Zbiorem liczb rzeczywistych

2. Zbiorem liczb rzeczywistych za wyjątkiem jednej liczby -

3. Sumą przedziałów jednostronnie nieograniczonych -  lub


4. Przedziałem skończonym otwartym  lub zamkniętym

5. Zbiorem jednoelementowym -

6. Zbiorem pustym
gdzie  jest pierwiastkiem podwójnym trójmianu, gdy , a  są pierwiastkami trójmianu, gdy

Przykład 2:
Dla jakich wartości parametru nierówność :  
jest spełniona dla każdego  ?

Rozwiązanie:
Należy rozpatrzyć dwa warunki:

 i otrzymujemy nierówność liniową,
 i otrzymujemy nierówność kwadratową.

1^o. , co nie spełnia warunków zadania (nierówność ma być spełniona dla każdego ).

2^o..  Aby nierówność była spełniona dla każdego , trójmian znajdujący się po lewej stronie nierówności nie może mieć pierwiastków, czyli , a  współczynnik przy  musi być ujemny (parabola musi leżeć poniżej osi OX, aby wszystkie wartości trójmianu były ujemne). Otrzymuje się więc dwa warunki:


Warunek dla wyróżnika:



Z wykresu odczytujemy : dla

Częścią wspólną obu zbiorów:     jest zbiór 

Odp. Dana nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej , jeśli