równania i nierówności kwadratowe 7-8

Matematyka - Równania i nierówności 7-8

Wzory Viete'a.

Jeżeli  i wyróżnik równania , to obliczając sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego otrzymujemy następujące wzory nazywane wzorami Viete'a:

  

Wzory te pozwalają np. obliczać wartości pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki równania kwadratowego, czy też badać znaki pierwiastków,  bez wyznaczania tych pierwiastków.

Równania kwadratowe z parametrem.

Często rozwiązuje się równania kwadratowe z parametrem. Należy wtedy pamiętać o zależności istnienia pierwiastków równania kwadratowego i ich ilości od wartości wyróżnika trójmianu.  W równaniach  z parametrem bardzo przydatne są wzory Viete'a.

Przykład:
Dane jest równanie: 
Dla jakich wartości parametru  równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których iloczyn jest liczbą nieujemną?

Rozwiązanie:
Aby równanie miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste muszą być spełnione dwa warunki:

1^o.  (wtedy jest to równanie kwadratowe, a nie liniowe, które nie może mieć dwóch różnych pierwiastków)

2^o.  (wtedy równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki).

Z treści zadania wynika, że musi być spełniony jeszcze trzeci warunek:

3^o. , ponieważ iloczyn pierwiastków ma być liczbą nieujemną. Korzystając ze wzorów Viete'a otrzymujemy: 

Wszystkie te warunki muszą być spełnione jednocześnie, więc możemy je zapisać w postaci:


Rozwiązanie warunku 1^o.



Rozwiązanie warunku 2^o.




, więc 

Rozwiązanie warunku 3^o.



Reasumując:


Częścią wspólną powyższych zbiorów jest zbiór:
Odp. Warunki zadania są spełnione dla

Równania dwukwadratowe.

Równaniem dwukwadratowym nazywamy równanie czwartego stopnia mające postać:
  gdzie

Równanie to można sprowadzić do równania kwadratowego podstawiając:



Założenie wynika z faktu,  że

Po podstawieniu otrzymuje się równanie kwadratowe:



Ilość rozwiązań równania   zależy od ilości i wartości pierwiastków równania. Zależność ta przedstawiona jest w tabeli.

Ilość i wartość pierwiastków równania	Ilość i wartość pierwiastków równania
Brak	Brak
jeden pierwiastek podwójny ujemny	Brak
dwa pierwiastki ujemne	Brak
jeden pierwiastek podwójny równy  zero	jeden pierwiastek równy  zero
jeden pierwiastek podwójny dodatni	dwa pierwiastki
jeden pierwiastek dodatni  i drugi pierwiastek ujemny	dwa  pierwiastki
jeden pierwiastek dodatni  i drugi pierwiastek równy zero	trzy pierwiastki
Dwa pierwiastki dodatnie:	Cztery pierwiastki

Przykład:
Rozwiąż równanie:  
Rozwiązanie:
Stosujemy podstawienie:  Otrzymujemy równanie: , które należy rozwiązać.



Pierwszy pierwiastek tego równania  nie spełnia założeń i nie uzyskujemy z niego rozwiązań równania dwukwadratowego. Drugi pierwiastek    prowadzi do równania:



Odp. Pierwiastkami równania dwukwadratowego są liczby  i