rachunek prawdopodobieństwa 3

Matematyka - Rachunek prawdopodobieństwa 3

Prawdopodobieństwo całkowite

      Jeśli para  jest przestrzenią probabilistyczną, natomiast zdarzenia  są dowolnymi zdarzeniami tej przestrzeni spełniającymi następujące warunki:

1. 
   
2.  dla
   
3.  dla ,

to dla dowolnego zdarzenia  zachodzi wzór:

Powyższe twierdzenie nazywamy twierdzeniem o prawdopodobieństwie całkowitym.

Przykład:

      W urnie A znajduje się 6 białych i 4 czarne kule, a w urnie B 3 białe i 3 czarne kule. Przekładamy dwie kule z urny A do urny B, a następnie z urny B losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest biała.

Rozwiązanie:

      Z urny A do urny B można przełożyć 2 kule białe lub 2 kule czarne lub 1 kulę białą i 1 czarną. Od zestawu kul, które zostaną przełożone zależy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z urny B.

Oznaczmy zdarzenia:

       - wylosowanie kuli białej z urny B,
       - przełożenie z urny A do urny B dwóch kul białych,
       - przełożenie z urny A do urny B dwóch kul czarnych,
       - przełożenie z urny A do urny B 1 kuli białej i 1 kuli czarnej,
       - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 2 kule białe,
       - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 2 kule czarne,
       - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 1 kulę białą i 1 kulę czarną.

      Ponieważ zdarzenia  dla  spełniają założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym:

1. ,
   
2. ,
   
3. ,

więc dla obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia A można skorzystać z tego twierdzenia:


      Należy teraz obliczyć prawdopodobieństwa występujące w powyższym wzorze:
W pierwszym etapie doświadczenie polega na wylosowaniu 2 kul spośród  10. Zdarzenia elementarne są kombinacjami 2-elementowymi zbioru 10-elementowego i ich ilość wynosi:


      Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu  są 2-elementowymi kombinacjami zbioru  6-elementowego (wylosowanie 2 kul białych spośród 6 białych) i ich ilość wynosi:


      Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu są 2-elementowymi kombinacjami zbioru 4-elementowego (wylosowanie 2 kul czarnych spośród 4 czarnych) i ich ilość wynosi:


Prawdopodobieństwa zdarzeń  wynoszą więc:
,       ,       .

      Jeśli do urny B przełożymy 2 kule białe, to będzie ona zawierać 5kul białych i 3 czarne. Prawdopodobieństwo  wynosi więc: .
      Jeśli do urny B przełożymy 2 kule czarne, to będzie ona zawierać 3 kule białe i 5 czarnych. Prawdopodobieństwo  wynosi więc: .
      Jeśli do urny B przełożymy 1 kulę białą i 1 czarną, to będzie ona zawierać 4 kule białe i 4 czarne. Prawdopodobieństwo  wynosi więc: .
Można teraz obliczyć prawdopodobieństwo wylosowanie kuli białej z urny B:


Odp. .

Wzór Bayesa

      Często stykamy się z zagadnieniami, w których  znamy skutek zdarzenia, a chcemy oszacować prawdopodobieństwa różnych możliwych jego przyczyn.
Do wyznaczania takich właśnie prawdopodobieństw służy wzór Bayesa.

      Jeśli spełnione są założenia  twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, to zachodzi wzór Bayesa:

gdzie  oraz  .
Wzór Bayesa nazywany bywa wzorem na prawdopodobieństwo przyczyny.

Niezależność zdarzeń

Zdarzenia  nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy:

      Zdarzenia  są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z dwu przypadków:

Jeżeli zdarzenia  są niezależne, to niezależne są również zdarzenia:

Dla każdego zdarzenia  zdarzenia  oraz  są niezależne.

Niezależność trzech i większej ilości zdarzeń

Dla większej liczby zdarzeń niezależność określamy następująco:
      Zdarzenia  są niezależne, jeśli prawdopodobieństwo iloczynu dowolnych k zdarzeń spośród nich  jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Przykład:

      Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Zdarzenie  polega na wylosowaniu liczby o różnych cyfrach. Zdarzenie  polega na wylosowaniu liczby, której suma cyfr wynosi 6. Zbadaj niezależność zdarzeń  i .

Rozwiązanie:

      Doświadczenie polega na wylosowaniu jednej liczby spośród 90 liczb, ponieważ tyle jest liczb naturalnych dwucyfrowych, więc:

      Aby obliczyć moc zbioru  (ile liczb naturalnych dwucyfrowych ma różne cyfry) należy od  ilości wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych odjąć ilość liczb naturalnych dwucyfrowych o takich samych cyfrach. Jest ich 9:
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Tak więc:

      Liczby naturalne dwucyfrowe, których suma cyfr wynosi 6, to: 15, 24, 33, 42, 51, 60. Jest ich 6, więc:

      Zdarzenie zajdzie, gdy wylosujemy liczbę naturalną dwucyfrową o różnych cyfrach i o sumie cyfr równej 6. Zdarzeniu temu sprzyjają następujące liczby: 15, 24, 42, 51, 60. Jest ich 5, więc:

Prawdopodobieństwa , ,  wynoszą:
,       ,       .

Ponieważ , więc zdarzenia  i  nie są niezależne.

Doświadczenia niezależne

Wykonujemy kolejno dwa doświadczenia losowe, które przebiegają niezależnie od siebie.
      W pierwszym doświadczeniu zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór , a  jest prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach ze zbioru .

      W drugim doświadczeniu zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór , a  jest prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach ze zbioru .

      Powyższe doświadczenie można uznać za szczególny przypadek doświadczenia dwuetapowego. Zbiorem zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia jest zbiór wszystkich par :
.
Na zdarzeniach ze zbioru  określone jest prawdopodobieństwo :
.
      Wówczas dowolne zdarzenia  (w pierwszym doświadczeniu zaszło zdarzenie ) i  (w drugim doświadczeniu zaszło zdarzenie ) są niezależne, więc:
.

Przykład:

      Jedna urna zawiera 3 kule białe i 5 czarnych, druga 4 kule białe i 6 czarnych. Z każdej urny losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania  dwóch kul białych.

Rozwiązanie:

      Losowanie kuli z każdej urny są zdarzeniami niezależnymi. Wylosowanie dwóch kul białych jest iloczynem zdarzeń: wylosowano kulę białą z pierwszej urny i wylosowano kulę białą z drugiej urny.

Oznaczmy zdarzenia:

 - wylosowano dwie białe kule,
 - wylosowano białą kulę z urny pierwszej,
 - wylosowano białą kulę z urny drugiej.

Ponieważ zdarzenia  i  są niezależne, więc:

Odp. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych kul wynosi: .

Schemat Bernoulliego

Wykonujemy doświadczenie, w którym można otrzymać tylko dwa wyniki:

zdarzenie , które nazywamy sukcesem,
zdarzenie do niego przeciwne , które nazywamy porażką.

Doświadczenie takie nazywamy próbą Bernoulliego.

      Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie Bernoulliego oznaczamy symbolem , a prawdopodobieństwo porażki symbolem . Zachodzi między nimi związek:

      Schematem n prób Bernoulliego nazywamy doświadczenie polegające na -krotnym powtórzeniu ustalonej próby Bernoulliego  w identycznych warunkach i niezależnie od siebie tzn. przy założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyników prób poprzednich i nie wpływa na wyniki prób następnych.

      W schemacie Bernoulliego o  próbach prawdopodobieństwo  uzyskania dokładnie  sukcesów określone jest wzorem:
,
gdzie  oznaczają odpowiednio prawdopodobieństwo sukcesu i porażki w jednej próbie.

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego

Jeśli w schemacie Bernoulliego o n próbach liczba :

1. nie jest liczbą całkowitą , to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów jest największa liczba całkowita nie większa od
   ,
   
2. jest liczbą całkowitą , to najbardziej prawdopodobne liczby sukcesów są równe:
   .

Przykład:

      W pewnej szkole są trzy klasy czwarte liczące po 30 uczniów. W każdej z tych klas jest dokładnie  dziewcząt. Z każdej klasy wybrano jednego ucznia. Dla jakiego k prawdopodobieństwo wybrania takiej trójki uczniów, wśród których są dokładnie dwaj chłopcy jest równe .

Rozwiązanie:

      W trzech klasach czwartych jest 30 uczniów, w tym  dziewcząt i  chłopców. Losowania uczniów z każdej klasy są zdarzeniami niezależnymi oraz  prawdopodobieństwa wylosowania dziewczynki i wylosowania chłopca są takie same w każdej z klas. Do obliczenia szukanego prawdopodobieństwa można więc zastosować schemat Bernoulliego.

      W zadaniu występuje schemat trzech prób Bernoulliego. Sukcesem jest wylosowanie chłopca, porażką - wylosowanie dziewczynki. Prawdopodobieństwa sukcesu -  i porażki -  wynoszą odpowiednio:
.
      Z warunków zadania wynika, że w  próbach liczba sukcesów ma wynieść . Korzystamy ze wzoru na  prawdopodobieństwo wystąpienia  sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego:
.
Z treści zadania wynika, że prawdopodobieństwo to wynosi , więc:
.
Po przekształceniach otrzymujemy równanie trzeciego stopnia:
,
przy założeniu, że .

      Całkowity pierwiastek tego równania musi należeć do podzielników wyrazu wolnego, czyli 4000.
Może nim być liczba 10:
,
co oznacza, że liczba 10 jest pierwiastkiem tego równania. Należy teraz wielomian
 podzielić przez dwumian :


Otrzymaliśmy więc: .

Rozwiązujemy równanie kwadratowe: 
Ponieważ  nie spełnia założeń, więc jedynym rozwiązaniem jest liczba .

Odp. W każdej klasie jest po  dziewcząt.