rachunek prawdopodobieństwa 2

Matematyka - Rachunek prawdopodobieństwa 2

Pojęcie prawdopodobieństwa

      Prawdopodobieństwo zdarzenia jest abstrakcyjnym odpowiednikiem pojęcia częstości wystąpienia zdarzenia w serii doświadczeń.

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

      Niech  będzie zbiorem zdarzeń elementarnych. Jeżeli każdemu zdarzeniu  przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba  taka, że:

1.  (prawdopodobieństwo jest liczbą nieujemną),
   
2.  (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1),
   
3. Jeżeli , to  (prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń),

to mówimy, że na zdarzeniach w zbiorze  zostało określone prawdopodobieństwo, a liczbę nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia .

      Powyższą definicję nazywamy aksjomatyczną definicją prawdopodobieństwa, a warunki 1 - 3 są aksjomatami prawdopodobieństwa i stanowią warunki formalne, które musi spełniać prawdopodobieństwo, nie pokazują jednak jak obliczać prawdopodobieństwo danego zdarzenia. W praktyce liczba  powinna być tak dobrana, aby odpowiadała częstości występowania zdarzenia  w długich seriach doświadczeń.

Przestrzeń probabilistyczna

      Parę , gdzie jest zbiorem zdarzeń elementarnych, a  jest  prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach w zbiorze , nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa

1.  (prawdopodobieństwo jest liczbą nieujemną),
   
2.  (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1),
   
3. Jeżeli , to  (prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń),
   
4.  (prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0),
   
5. Jeżeli , to ,
   
6.  (prawdopodobieństwo zdarzenia nie może być większe od 1),
   
7.  (prawdopodobieństwo zdarzenia A' przeciwnego do zdarzenia A),
   
8.  (prawdopodobieństwo sumy dowolnych zdarzeń),
   
9.   (prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest nie większe od sumy ich prawdopodobieństw).

Wniosek:  Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia losowego jest liczbą należącą do przedziału á0,1ń.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (Laplace'a)

      Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa nie pokazuje jak wyznaczać prawdopodobieństwo zdarzeń. Jeżeli zdarzenia elementarne danego doświadczenia losowego są jednakowo prawdopodobne, to można korzystać z klasycznej definicji prawdopodobieństwa, która wskazuje metodę obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

      Jeżeli  jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i , to liczbę:

gdzie  oznaczają odpowiednio moc zbioru  (ilość elementów zbioru ) oraz moc zbioru  (ilość elementów zbioru ), nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia .

Uwaga: definicja ta obowiązuje tylko dla doświadczeń o jednakowo prawdopodobnych zdarzeniach elementarnych!

      Przy obliczaniu liczby wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia i liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu wykorzystuje się najczęściej wzory kombinatoryczne.

Przykład 1:

      W partii  10 żarówek 4 są wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych 3 żarówek:

1. wszystkie są wadliwe,
   
2. dokładnie jedna jest wadliwa,
   
3. przynajmniej jedna jest wadliwa.

Rozwiązanie:

      Doświadczenie polega na losowym wyjęciu 3 żarówek spośród 10 żarówek. Istotne jest, jakie żarówki zostały wyjęte, natomiast kolejność ich wyjmowania nie gra roli. Zdarzeniami elementarnymi (jednakowo prawdopodobnymi) są więc wszystkie trzyelementowe podzbiory zbioru dziesięcioelementowego, czyli trzyelementowe kombinacje tego zbioru. Ich liczba jest równa:


Oznaczmy zdarzenia:

       - wybór trzech wadliwych żarówek,
       - wybór jednej wadliwej i dwóch sprawnych żarówek,
       - wybór przynajmniej jednej wadliwej żarówki.

1. Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są wszystkie trzyelementowe podzbiory zbioru czteroelementowego (wybór trzech żarówek wadliwych spośród czterech wadliwych). Ich liczba jest równa:
   , (bo ).
   Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi:
   
   
2. Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są  wszystkie trzyelementowe podzbiory zawierające jedną żarówkę wadliwą wybraną spośród czterech wadliwych i dwie żarówki sprawne wybrane spośród sześciu sprawnych. Ich liczba jest równa:
   
   Przy obliczaniu ilości zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu  skorzystaliśmy z reguły mnożenia.
   Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi:
   
   
3. Prawdopodobieństwo zdarzenia  łatwiej jest obliczyć przy pomocy zdarzenia przeciwnego:
    - nie wybrano ani jednej żarówki wadliwej, czyli wybrano trzy sprawne.
   Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są  wszystkie trzyelementowe podzbiory zbioru sześcioelementowego (trzy żarówki sprawne wybrane z sześciu sprawnych). Ich liczba jest równa:
   
   Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia  wynosi:
   
   Prawdopodobieństwo zdarzenia  jest równe:
   

Odp.: .

Przykład 2:

      W kolejce stoi 5 kobiet i 7 mężczyzn. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że kobiety stoją przed mężczyznami.

Rozwiązanie:

      Doświadczenie polega na ustawieniu w sposób losowy 12 osób w kolejce. Zdarzeniami elementarnymi są więc wszystkie permutacje zbioru 12-elementowego. Ich liczba jest równa:


Oznaczmy zdarzenie:

       - kobiety stoją przed mężczyznami.
      Zdarzenie  polega na ustawienie najpierw 5 kobiet w dowolnej kolejności na 5! sposobów, a następnie 7 mężczyzn też w dowolnej kolejności na 7! sposobów. Korzystając z reguły mnożenia można obliczyć ilość zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu :

      Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia, że kobiety będą stały przed mężczyznami wynosi:


Odp. .

Przykład 3:

      Ze zbioru cyfr {1,2,3,4,...,9} losujemy kolejno ze zwracaniem 4 cyfry i układamy z nich liczbę w kolejności od rzędu tysięcy do rzędu jedności. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że powstała liczba o nie powtarzających się cyfrach?

Rozwiązanie:

      Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie ciągi 4-elementowe o elementach ze zbioru 9-elementowego,  w których  wyrazy mogą się powtarzać, czyli wszystkie 4 wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru 9-elementowego.  Ich liczba jest równa:
.

Oznaczmy zdarzenie:

       - powstała liczba o nie powtarzających się cyfrach.
      Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są wszystkie ciągi 4-elementowe o elementach ze zbioru 9-elementowego,  w których  wyrazy nie mogą się powtarzać, czyli wszystkie 4 wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru 9-elementowego.  Ich liczba jest równa:

      Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia, że powstanie liczba o nie powtarzających się cyfrach wynosi:


Odp. .

Prawdopodobieństwo warunkowe

      Prawdopodobieństwem warunkowym  zajścia zdarzenia  pod warunkiem, że zaszło zdarzenie , nazywamy liczbę:
,
gdzie .

Przykład:

      Z talii kart losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania króla, jeśli wiadomo, że została wylosowana figura (as, król, dama, walet) ?

Rozwiązanie:

      Należy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe wylosowania króla pod warunkiem, że wylosowano figurę.

Oznaczmy zdarzenia:

       - wylosowanie króla,
       - wylosowanie figury.
      Aby skorzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe, należy obliczyć  i .
      Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie jednoelementowe podzbiory zbioru 52 elementowego. Ich liczba wynosi:

      Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są wszystkie podzbiory jednoelementowe 16-elementowego zbioru figur. Ich liczba wynosi: , czyli

      Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu są wszystkie podzbiory jednoelementowe 4-elementowego zbioru króli. Ich liczba wynosi: , czyli

Prawdopodobieństwo warunkowe wynosi więc:


Odp. .

Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń

      Dla dowolnej pary zdarzeń ,  takich, że  i  i  zachodzi równość:


Przykład:

      Dane są dwie urny. W pierwszej jest 5 kul białych i 7 czarnych, w drugiej 3 białe i 8 czarnych. Z losowo wybranej urny losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszego pojemnika.

Rozwiązanie:

Oznaczmy zdarzenia:

       - wylosowanie kuli białej,
       - losowanie kuli z pierwszej urny.
Interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzenia . Skorzystamy ze wzoru: .
      Urna zostaje wybrana losowo, a więc .  Prawdopodobieństwo warunkowe wylosowania kuli białej, pod warunkiem, że losujemy z pierwszej urny wynosi: . Tak więc prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń  wynosi:


Odp. .

Doświadczenie wieloetapowe.

      Załóżmy, że doświadczenie  składa się z kilku etapów.  Dla przykładu rozpatrzmy doświadczenie dwuetapowe.
      W pierwszym etapie wykonywane jest doświadczenie  o zbiorze zdarzeń elementarnych  i  prawdopodobieństwie  określonym na zdarzeniach z . 
      Następnie wykonywane jest doświadczenie , którego rodzaj może zależeć od uzyskanego w doświadczeniu  wyniku .  Modelem probabilistycznym zdarzenia  jest para . 
      Zbiorem zdarzeń elementarnych dla doświadczenia dwuetapowego jest zbiór wszystkich par , gdzie . Na zdarzeniach w zbiorze  określone jest prawdopodobieństwo  określone wzorem:

      Przebieg losowego doświadczenia wieloetapowego można zilustrować grafem nazywanym drzewem stochastycznym.

Budowa drzewa stochastycznego


      Wierzchołkom drzewa przyporządkowane są wyniki poszczególnych etapów doświadczenia, a krawędziom prawdopodobieństwa uzyskania tych wyników.

      Z górnego wierzchołka odchodzą krawędzie odpowiadające zdarzeniom elementarnym pierwszego etapu doświadczenia. Z ich końców wychodzą następne gałęzie odpowiadające wynikom drugiego etapu itd.

      Suma prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom wychodzącym z jednego wierzchołka jest równa 1.

      Gałęzią drzewa stochastycznego nazywamy ciąg krawędzi prowadzących od początku drzewa do jednego z ostatnich jego wierzchołków. Jedna gałąź drzewa odpowiada jednemu zdarzeniu elementarnemu doświadczenia wieloetapowego.

      Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego reprezentowanego przez jedną gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom, z których jest złożona dana gałąź (reguła iloczynów).

      Prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez kilka gałęzi jest równe sumie prawdopodobieństw przyporządkowanych tym gałęziom (reguła sum).