rachunek prawdopodobieństwa 1

Matematyka - Rachunek prawdopodobieństwa 1

      Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem zjawisk losowych (np. rzut monetą, rzut kostką do gry, loterie itp.) i praw rządzących tymi zjawiskami.

Doświadczenie losowe

      Doświadczeniem losowym nazywamy takie doświadczenie, którego wyniku nie można przewidzieć, a przy powtarzaniu go w identycznych warunkach możemy otrzymać różne wyniki.

      Każdą realizację doświadczenia losowego nazywamy wynikiem doświadczenia losowego (np. wypadło 5 oczek w rzucie kostką).

      Jeśli pewne doświadczenie losowe zostało powtórzone  razy i dany wynik  wystąpił k razy, to liczbę  nazywamy częstością zdarzenia  w tym ciągu doświadczeń.

      Należy jednak pamiętać, że w pojedynczym doświadczeniu wynik  może wystąpić lub może nie wystąpić. Powtarzając dane doświadczenie wiele razy, można zaobserwować pewną prawidłowość - częstość wyniku  stabilizuje się wraz ze wzrostem liczby doświadczeń. Jest to tzw. prawidłowość statystyczna.

      Należy jednak pamiętać, że losowy charakter doświadczenia wyraża się m.in. w tym, że:

1. jeśli pewien wynik w danej serii powtórzeń doświadczenia pojawił się z częstością , to nie oznacza, że w każdej następnej serii wystąpi również z częstością ,
   
2. jeśli w kilku seriach powtórzeń doświadczenia otrzymano różne częstości danego wyniku, to ten fakt nie oznacza, że w następnych seriach otrzyma się jeszcze inne częstości tego wyniku.

Zdarzenia elementarne

      Podobnie jak np. geometria, rachunek prawdopodobieństwa wychodzi od pewnych pojęć, które nie są definiowane (tzw. pojęć pierwotnych).

Pojęciem pierwotnym w rachunku prawdopodobieństwa jest zdarzenie elementarne.

      Za zdarzenia elementarne przyjmuje się najprostsze wyniki doświadczenia. Określa się je rozważając konkretne zjawisko. Sporządza się wówczas listę wszystkich wyników, które mogą się pojawić, w taki jednak sposób, aby wystąpienie każdego wyniku zamieszczonego na liście wykluczało wystąpienie w tym samym doświadczeniu  wszystkich wyników pozostałych.

Zdarzenia elementarne oznacza się literami  itd.

Zbiór zdarzeń elementarnych

      Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy symbolem .

Zdarzenie losowe

      Każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych  nazywamy zdarzeniem losowym (w zbiorze ). Zdarzenia oznaczamy literami A, B, C, ...

      Każde zdarzenie elementarne  nazywamy zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu A.

      Każde zdarzenie  jest więc równe zbiorowi tych zdarzeń elementarnych, które mu sprzyjają.

Zdarzenie pewne i niemożliwe

      Każde zdarzenie elementarne sprzyja zdarzeniu , a więc to zdarzenie zachodzi zawsze. Dlatego zbiór  nazywamy zdarzeniem pewnym.

      Żadne zdarzenie elementarne nie sprzyja zdarzeniu  (zbiór pusty), a więc to zdarzenie nie zachodzi nigdy. Dlatego zbiór pusty  nazywamy zdarzeniem niemożliwym.

Działania na zdarzeniach

      Ponieważ w myśl definicji zdarzenia są zbiorami,  więc na zdarzeniach można wykonywać analogiczne działania jak na zbiorach.

Suma zdarzeń

      Sumą zdarzeń  i  nazywamy zdarzenie , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne , sprzyjające zdarzeniu  lub zdarzeniu :

Sumy pewnych zdarzeń:


Iloczyn zdarzeń

      Iloczynem zdarzeń  i  nazywamy zdarzenie , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne , sprzyjające zdarzeniu  i zdarzeniu :

Iloczyny pewnych zdarzeń:


Różnica zdarzeń

      Różnicą zdarzeń  i  nazywamy zdarzenie , do którego należą zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu  i nie sprzyjające zdarzeniu :


Zdarzenia przeciwne

      Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia  nazywamy zdarzenie  (różnica zdarzenia pewnego  i danego zdarzenia ).

Zdarzenia  i nazywamy zdarzeniami przeciwnymi, wtedy i tylko wtedy, gdy:


Własności zdarzeń przeciwnych:



Zdarzenia rozłączne

      Dwa zdarzenia  i nazywamy zdarzeniami rozłącznymi (wykluczającymi się), jeżeli zdarzenie  jest zdarzeniem niemożliwym tzn., gdy:

Zawieranie się zdarzeń

      Zdarzenie  jest zawarte w zdarzeniu , jeżeli każde zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu , sprzyja jednocześnie zdarzeniu :


Zdarzenia równe

      Zdarzenia  i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy sprzyjają im te same zdarzenia elementarne.