pochodna funkcji 3

Matematyka - Pochodna funkcji 3

Zastosowanie pochodnej do badania funkcji
 
Przedziały monotoniczności funkcji
 
Za pomocą pochodnej można wyznaczyć przedziały, w których dana funkcja różniczkowalna jest monotoniczna.
 
Kryterium różniczkowe badania monotoniczności funkcji.
 
Twierdzenie 1.

      Jeżeli funkcja  jest określona i różniczkowalna w przedziale , a jej pochodna  przyjmuje, w co najwyżej skończonej liczbie punktów tego przedziału, wartość zero, a we wszystkich pozostałych punktach przedziału jest dodatnia , to funkcja  jest w przedziale  rosnąca.
 jest   rosnąca   w .
 
Twierdzenie 2.

      Jeżeli funkcja  jest określona i różniczkowalna w przedziale , a jej pochodna  przyjmuje, w co najwyżej skończonej liczbie punktów tego przedziału, wartość zero, a we wszystkich pozostałych punktach przedziału jest ujemna , to funkcja  jest w przedziale malejąca.
 jest malejąca w .
 
Twierdzenie 3.

      Jeżeli funkcja  jest określona i różniczkowalna w przedziale , a jej pochodna  przyjmuje w każdym punkcie tego przedziału wartość zero, to funkcja  jest w przedziale  stała.
 jest stała w .
 
Przykład:
      Dla jakich wartości parametru  funkcja  jest rosnąca dla każdego .
 
Rozwiązanie:
      Dana funkcja jest funkcją wielomianową, więc jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Zgodnie z kryterium różniczkowym monotoniczności funkcji funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie, jeśli jej pochodna jest zawsze dodatnia za wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zero:

Powyższy warunek jest spełniony, gdy :
.
 
Odp. Dane funkcja jest rosnąca dla każdego , jeśli
 
Ekstrema funkcji.
 
Maksimum lokalne.

      Funkcja ma w punkcie  maksimum lokalne równe  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie sąsiedztwo  punktu , że dla każdego  jest spełniony warunek:
.
 
Minimum lokalne.

      Funkcja  ma w punkcie  minimum lokalne równe  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie sąsiedztwo  punktu , że dla każdego  jest spełniony warunek:
.
 
Ekstremum funkcji to maksimum lub minimum tej funkcji.
      Ekstrema funkcji nie muszą być jednocześnie najmniejszą i największą wartością tej funkcji przyjmowaną w pewnym zbiorze. Funkcja może np. nie mieć ani największej, ani najmniejszej wartości, a mieć kilka maksimów i minimów.
 
Kryterium różniczkowe istnienia ekstremum funkcji
 
Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji

      Jeżeli funkcja  ma w punkcie ekstremum i jest w tym punkcie różniczkowalna, to .
 
      Warunek ten nie jest jednak wystarczający dla istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej w punkcie .
 
I warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji

      Jeżeli funkcja jest ciągła w punkcie i ma pochodną w pewnym sąsiedztwie , przy czym:

[lub   ]
to funkcja ma w punkcie maksimum (lub minimum) lokalne.
 
II warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji

      Jeżeli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu  punktu  i jej druga pochodna jest ciągła w tym otoczeniu oraz
> i
 (lub ),
to funkcja  ma w punkcie  minimum (lub maksimum) lokalne.

      Należy podkreślić, że powyższe warunki dotyczą wyłącznie funkcji różniczkowalnych. Nie oznacza to jednak, że funkcja nieróżniczkowalna nie może mieć ekstremum. Przykładowo funkcja  ma w punkcie  minimum, choć nie jest w tym punkcie różniczkowalna.
 
Wynika stąd wniosek, że ekstremum funkcji należy szukać

1. w tych punktach jej dziedziny, w których pochodna funkcji jest równa zero,
   
2. w tych punktach jej dziedziny, w których pochodna funkcji nie jest określona (nie istnieje).

Przykład:
      Dla jakich wartości parametrów  i  funkcja:  osiąga ekstremum równe  dla . Zbadaj, czy jest to maksimum, czy minimum. Znajdź, o ile istnieją, pozostałe ekstrema tej funkcji.
 
Rozwiązanie:
Dana funkcja jest wymierna i jej dziedziną jest zbiór . Funkcja ta jest więc różniczkowalna w punkcie. . Zgodnie z warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej, pochodna danej funkcji musi być równa zero dla .

Otrzymujemy więc:

W celu obliczenia parametru  skorzystamy z informacji, że dla  funkcja przyjmuje wartość  tzn.:
.
Wynika stąd, że dla  dana funkcja może mieć ekstremum dla . Aby funkcja miała to ekstremum, jej pochodna musi zmieniać znak w punkcie . Dla obliczonych parametrów uzyskaliśmy funkcję:
,
której pochodna wynosi:
.
Dla  pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny, funkcja ma więc maksimum.
 
      Drugim miejscem zerowym pochodnej jest . W punkcie tym pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, funkcja ma więc minimum.
 
Odp. Dla  dana funkcja ma maksimum równe  dla  oraz minimum dla .
 
Punkt przegięcia
 
      Punkt  jest punktem przegięcia wykresu funkcji , jeżeli w lewostronnym sąsiedztwie punktu  funkcja jest wypukła i w prawostronnym sąsiedztwie punktu  funkcja jest wklęsła, lub odwrotnie.
 
Kryterium różniczkowe istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji
 
      Jeżeli funkcja  ma w przedziale  pochodną  oraz drugą pochodną  ciągła, to punkt , gdzie , jest punktem przegięcia wykresu funkcji  wtedy i tylko wtedy, gdy , , a znaki drugiej pochodnej  w lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwie punktu  są różne.
 
Badanie przebiegu zmienności funkcji

      W celu naszkicowania wykresów wielu funkcji należy określić wszystkie możliwe do wyznaczenia własności, które daną funkcję charakteryzują. Wyznaczanie tych własności nazywamy badaniem przebiegu zmienności funkcji.
 
Badanie przebiegu zmienności funkcji przebiega według schematu:

I. Analiza funkcji

1. określenie dziedziny funkcji,
   
2. obliczenie granic na krańcach dziedziny funkcji,
   
3. wyznaczenie asymptot,
   
4. obliczenie miejsc zerowych i rzędnej punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY,
   
5. zbadanie parzystości i nieparzystości funkcji.

II. Analiza pierwszej pochodnej funkcji

1. określenie dziedziny pochodnej,
   
2. obliczenie pochodnej funkcji,
   
3. obliczenie miejsc zerowych pochodnej,
   
4. wyznaczenie przedziałów, w których pochodna jest dodatnia  i przedziałów, w których pochodna jest  ujemna,
   
5. określenie monotoniczności funkcji,
   
6. wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji.

III. Analiza drugiej pochodnej funkcji

1. określenie dziedziny drugiej pochodnej,
   
2. obliczenie drugiej pochodnej funkcji,
   
3. obliczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej,
   
4. określenie przedziałów wklęsłości i wypukłości wykresu funkcji,
   
5. wyznaczenie punktów przegięcia,
   
6. wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji, o ile nie zostały wyznaczone w podpunkcie 7 punktu II.

IV. Sporządzenie tabeli przebiegu zmienności funkcji
 
V. Naszkicowanie wykresu funkcji