pierwiastki

Pierwiastki

Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia , gdzie , z liczby nieujemnej  () nazywamy taką liczbę nieujemną  (), dla której:

i oznaczamy symbolicznie .

.

Przyjmujemy następujące określenia:

 - liczba podpierwiastkowa,
 - stopień pierwiastka,
 - pierwiastek -tego stopnia z  (wynik pierwiastkowania).

Najczęściej używane są pierwiastki drugiego stopnia (tzw. pierwiastki kwadratowe) oraz pierwiastki trzeciego stopnia (tzw. pierwiastki sześcienne).

Pierwiastkiem arytmetycznym drugiego stopnia (kwadratowym) z liczby nieujemnej  () nazywamy taką liczbę nieujemną  (), która podniesiona do drugiej potęgi (kwadratu) jest równa liczbie podpierwiastkowej. ,  gdy    dla  .

Np. ,  ,  .

Pierwiastkiem arytmetycznym trzeciego stopnia (sześciennym) z liczby nieujemnej  () nazywamy taką liczbę nieujemną  (), która podniesiona do trzeciej potęgi (sześcianu) jest równa liczbie podpierwiastkowej. , gdy  dla .

Np. ,  ,  .

Prawa działań na pierwiastkach.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych  nieujemnych  i liczb  zachodzą następujące wzory:

1. .
   
   
2.  dla .
   
   
3. .
   
   
4. .
   
   
5. .
   
   
6. .

Korzystając z prawa szóstego można wykonać przekształcenie zwane wyłączaniem czynnika przed znak pierwiastka. Np. dla pierwiastka kwadratowego polega ono na przedstawieniu liczby podpierwiastkowej w postaci iloczynu liczby będącej kwadratem liczby naturalnej i liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej:



Następnie pierwiastek zapisuje się jako iloczyn liczby  i pierwiastka z liczby :

.

Podobnie dla pierwiastków sześciennych:
.

Przykład:
Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci:

a)            ,

b)            .

Rozwiązanie:

a)            
            

b)            
            .

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka

Jeżeli licznik i mianownik ułamka pomnożymy przez to samo wyrażenie różne od zera, to wartość ułamka nie zmieni się.
Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka polega na pomnożeniu licznika i mianownika ułamka przez takie wyrażenie niewymierne (liczbę niewymierną), aby w mianowniku uzyskać wyrażenie wymierne (liczbę wymierną). Często korzysta się przy tym ze wzorów skróconego mnożenia. Np. dla pierwiastka kwadratowego wykorzystuje się wzór:


Przykładowo:

dla

dla  i 

dla  i 

Przykład:
Usuń niewymierności z mianowników ułamków:
a)            ,
b)            ,
c)            .

Rozwiązanie:

a)            ,

b)            ,

c)            
            .