nierówności liniowe

Nierówności liniowe

Nierówności liniowe z jedną niewiadomą

Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy każdą z nierówności postaci:

, gdzie

Zbiór rozwiązań tej nierówności zależy od współczynników a i b :

Nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, która jest spełniona przez pewne liczby rzeczywiste, przez inne zaś nie jest spełniona nazywamy nierównością warunkową.

Nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, którą spełniają wszystkie liczby rzeczywiste nazywamy nierównością tożsamościową lub bezwarunkową.

Nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, której nie spełnia żadna liczba rzeczywista nazywamy nierównością sprzeczną.

Nierówności rozwiązuje się podobnie jak równania. Rozwiązanie nierówności sprowadza się do przekształcania jej na coraz prostsze nierówności równoważne, które otrzymuje się poprzez:

1. Wykonanie działań wskazanych po jednej lub obu stronach nierówności (twierdzenie 1 o nierównościach równoważnych)
   
   
2. Przenoszenie ze znakiem przeciwnym wyrazów zawierających niewiadome na jedną stronę nierówności, a wyrazów zawierających wiadome na drugą stronę nierówności (twierdzenie 2 o nierównościach równoważnych)
   
   
3. mnożenie lub dzielenie obu stron nierówności przez liczbę różną od zera. Gdy mnożymy przez liczbę dodatnią, pozostawiamy znak nierówności bez zmian (twierdzenie 3b o nierównościach równoważnych). Gdy mnożymy przez liczbę ujemną, zmieniamy znak nierówności na przeciwny (twierdzenie 3c o nierównościach równoważnych).

Przykład:

Rozwiąż nierówności:

1. 
   
2. 
   
3. 
   
4. 

Rozwiązanie:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   

Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi

Nierówności postaci:

, ,  , 

, gdzie nazywamy nierównościami liniowymi (pierwszego stopnia) z dwiema niewiadomymi.

Para (x₀, y₀) spełnia nierówność liniową z dwiema niewiadomymi x, y wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu do tej nierówności x₀ w miejsce x i y₀ w miejsce y otrzymamy nierówność prawdziwą.

Rozwiązaniem nierówności z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb spełniających nierówność.
 
Obrazem graficznym (wykresem) zbioru rozwiązań nierówności liniowej z dwiema niewiadomymi jest półpłaszczyzna o krawędzi określonej równaniem   (wraz z tą krawędzią, jeśli nierówność jest nieostra, lub bez krawędzi, jeśli nierówność jest ostra).

Przykładowe obrazy graficzne zbiorów rozwiązań nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi przedstawiają rysunki: