Matematyka - Poradnik DEFINICJE, TWIERDZENIA, WZORY SPIS TREŚCI (wg. zagadnień) Funkcje Wykresy niektórych funkcji Podstawowe pojęcia związane z funkcjąJednomiany Liczby całkowite Liczby naturalne Liczby niewymierne Liczby rzeczywiste Liczby wymierne Nierówności liniowe Oś liczbowa Pierwiastki Potęgi Procent Proporcja Przybliżenie dziesiętne Rozwiązywanie równań i nierówności ... więcej »
Matematyka » Podręcznik |
| |
Równania liniowe Równania liniowe z jedną niewiadomą. Równaniem liniowym z jedną niewiadomą x nazywamy równanie postaci: a.x + b = 0, gdzie . Liczby a i b nazywamy współczynnikami równania: a - współczynnik przy niewiadomej x, b - wyraz wolny. Rozwiązanie równania sprowadza się do przekształcania go na coraz prostsze równania równoważne, które otrzymuje się poprzez: Wykonanie... więcej »
Matematyka » Podręcznik » równania liniowe |
| |
Nierówności liniowe Nierówności liniowe z jedną niewiadomą Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy każdą z nierówności postaci: , gdzie Zbiór rozwiązań tej nierówności zależy od współczynników a i b : Nierówność pierwszego stopnia z jedną niewiadomą, która jest spełniona przez pewne liczby rzeczywiste, przez inne zaś nie jest spełniona nazywamy nierównością warunkową. ... więcej »
Matematyka » Podręcznik » nierówności liniowe |
| |
Równania i nierówności Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych, z których co najmniej jedno zawiera zmienną (literę). Zmienne występujące w równaniu nazywamy niewiadomymi Równanie może zawierać kilka niewiadomych. Np. : - równanie z jedną niewiadomą - równanie z dwiema niewiadomymi Równanie, w którym występuje tylko jedna niewiadoma w pierwszej potędze... więcej »
Matematyka » Podręcznik » równania i nierówności |
| |
Rozwiązywanie równań i nierówności Do rozwiązywania równań (nierówności) wykorzystuje się tzw. twierdzenia o równaniach (nierównościach) równoważnych. Dwa równania nazywamy równoważnymi w zbiorze D wtedy i tylko wtedy, gdy oba są określone w zbiorze D i mają ten sam zbiór rozwiązań w tym zbiorze Twierdzenie 1. Jeśli wykonamy działania wskazane po lewej lub prawej stronie równania... więcej »
Matematyka » Podręcznik » rozwiązywanie równań i nierówności |
| |
Liczby naturalne Liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ... nazywamy liczbami naturalnymi. Za pomocą liczb naturalnych określa się liczbę elementów zbioru. Liczby naturalne oznaczamy symbolem . Zbiór liczb naturalnych można przedstawić w postaci: Zbiór liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym. W zbiorze tym istnieje liczba najmniejsza n = 0, nie ma liczby największej. ... więcej »
Matematyka » Podręcznik » liczby naturalne |
| |
Liczby całkowite Zbiór liczb całkowitych składa się ze wszystkich liczb naturalnych i liczb do nich przeciwnych Zbiór liczb całkowitych oznaczamy symbolem C (w literaturze naukowej liczby całkowite oznacza się symbolem Z). Zatem: Przez oznaczamy zbiór liczb całkowitych dodatnich, a przez zbiór liczb całkowitych ujemnych, czyli: Oczywiście: Ponieważ: , więc każda... więcej »
Matematyka » Podręcznik » liczby całkowite |
| |
Liczby wymierne Liczbę W nazywamy wymierną, jeśli można ją przedstawić w postaci ułamka , gdzie i . Zbiór liczb wymiernych oznacza się symbolem W (w literaturze naukowej liczby wymierne oznacza się symbolem Q). Zatem: Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka na nieskończenie wiele sposobów, ponieważ: Ponieważ każda liczba całkowita: , zatem . Wynika stąd, że... więcej »
Matematyka » Podręcznik » liczby wymierne |
| |
Liczby niewymierne Liczbami niewymiernymi nazywamy te liczby, które nie są wymierne, czyli nie dają się przedstawić w postaci ułamka , gdzie i . Zbiór liczb niewymiernych oznaczamy symbolem NW. Liczbami niewymiernymi są przykładowo liczby: Rozwinięcie dziesiętne liczby niewymiernej. Liczby niewymierne mają rozwinięcie dziesiętne nieskończone, nieokresowe. Zbiór liczb... więcej »
Matematyka » Podręcznik » liczby niewymierne |
| |
Przybliżenia dziesiętne Działania arytmetyczne na liczbach rzeczywistych zastępuje się często w rachunkach praktycznych działaniami na ich przybliżeniach. W celu przybliżenia ułamka dziesiętnego z dokładnością do ustalonego rzędu należy odrzucić cyfry znajdujące się w rzędach niższych od rzędu ustalonego (występujących po ustalonym rzędzie) zgodnie z zasadą:Jeżeli pierwszą z odrzucanych cyfr... więcej »
Matematyka » Podręcznik » przybliżenia dziesiętne |
| |
Jednomiany Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest stałą (liczbą) lub zmienną (literą) lub iloczynem stałych i zmiennych. Np.: Jednomian nazywamy uporządkowanym, jeśli najpierw występuje znak, potem czynnik liczbowy, a następnie czynniki literowe w kolejności alfabetycznej. Np. jednomiany nieuporządkowane: Odpowiednio te same jednomiany po uporządkowaniu przybierają... więcej »
Matematyka » Podręcznik » jednomiany |
| |
Wzory skróconego mnożenia W pewnych wyrażeniach (np. kwadrat sumy, czy różnicy dwóch dowolnych wyrażeń, iloczyn sumy dwóch wyrażeń przez ich różnicę, sześcian sumy, czy różnicy dwóch wyrażeń itp.) można pominąć mnożenie i redukcję wyrazów podobnych, stosując odpowiedni wzór, zwany wzorem skróconego mnożenia. Kwadrat sumy dwóch dowolnych wyrażeń a i b: Kwadrat różnicy dwóch dowolnych... więcej »
Matematyka » Podręcznik » wzory skróconego mnożenia |
| |
Wyrażenia algebraiczne Wyrażenia, w których występują liczby i litery połączone znakami działań i nawiasami nazywamy wyrażeniami algebraicznymi Np. Litery występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi, a liczby występujące w wyrażeniu nazywamy stałymi. Wyrażenia algebraiczne noszą nazwy, które przyjmują od nazwy działania wykonywanego jako ostatnie, zgodnie z kolejnością... więcej »
Matematyka » Podręcznik » wyrażenia algebraiczne |
| |
Funkcje Niech X i Y będą niepustymi zbiorami. Funkcją odwzorowującą zbiór w zbiór , nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie jednego elementu zbioru . Uwaga: aby przyporządkowanie było funkcją, musi, zgodnie z definicją, spełniać dwa warunki: Element ze zbioru musi być przyporządkowany każdemu elementowi zbioru , Każdemu elementowi zbioru musi być... więcej »
Matematyka » Podręcznik » funkcje |
| |
Zbiory Pojęcie zbioru jest jednym z pierwotnych pojęć matematycznych, a więc pojęciem nie definiowanym. Używane jest we wszystkich działach matematyki, podobnie jak w mowie potocznej, w znaczeniu kolekcji określonych obiektów np. zbiór uczniów w klasie, zbiór liczb pierwszych, zbiór rozwiązań nierówności itp. Obiekty, które należą do danego zbioru nazywamy elementami tego zbioru. Zbiory... więcej »
Matematyka » Podręcznik » zbiory |
| |
Wykresy niektórych funkcji Funkcja liniowa: Wykresem tej funkcji jest prosta przechodząca przez punkt i nachylona do osi OX pod kątem . Funkcja kwadratowa: Wykresem tej funkcji jest krzywa zwana parabolą. Funkcja wymierna: Wykresem tej funkcji jest krzywa zwana hiperbolą. Funkcja: Wzór tej funkcji można zapisać w innej postaci... więcej »
Matematyka » Podręcznik » funkcje - wykresy |
| |
Podstawowe pojęcia związane z funkcją Tabela zawiera podstawowe pojęcia jak dziedzina, przeciwdziedzina itp. związane z funkcjami oraz ich określenia. Nazwa Określenie Dziedzina funkcji określonej wzorem Dziedziną funkcji określonej wzorem nazywamy zbiór takich argumentów, dla których wzór opisujący funkcję ma sens liczbowy. Dziedziną funkcji opisanej wzorem jest zbiór liczb... więcej »
Matematyka » Podręcznik » funkcje - podstawowe pojęcia |
| |
Potęgi Potęga o wykładniku naturalnym dodatnim. Potęgę dowolnej liczby rzeczywistej o wykładniku naturalnym dodatnim określają wzory: Z powyższej definicji rekurencyjnej wynika, że: i iloczyn ten składa się z czynników. Np. : Wyrażenie nazywamy -tą potęgą liczby . Liczbę nazywamy podstawą potęgi, a liczbę nazywamy wykładnikiem potęgi. Zapamiętajmy, że: Potęga o... więcej »
Matematyka » Podręcznik » potęgi |
| |
Pierwiastki Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia , gdzie , z liczby nieujemnej () nazywamy taką liczbę nieujemną (), dla której: i oznaczamy symbolicznie . . Przyjmujemy następujące określenia: - liczba podpierwiastkowa, - stopień pierwiastka, - pierwiastek -tego stopnia z (wynik pierwiastkowania). Najczęściej używane są pierwiastki drugiego stopnia (tzw. pierwiastki kwadratowe)... więcej »
Matematyka » Podręcznik » pierwiastki |
| |
Procent Procent to łacińska nazwa setnej części. Aby zamienić liczbę na procent, należy pomnożyć tę liczbę przez 100%. Aby zamienić procent na liczbę, należy liczbę procentów podzielić przez 100 i pominąć symbol %. Jednym procentem wielkości nazywamy jedną setną część tej wielkości. . Obliczenia procentowe można podzielić na trzy główne grupy: Obliczanie procentu danej liczby. ... więcej »
Matematyka » Podręcznik » procent |
| |
Proporcja Proporcją nazywamy równość dwóch ułamków (stosunków, ilorazów): lub , gdzie . Wyrażenia nazywamy wyrazami proporcji. Wyrażenia nazywamy wyrazami skrajnymi, a wyrażenia nazywamy wyrazami środkowymi proporcji. W proporcji iloczyn wyrazów środkowych jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych: . Np.: Niech . Ponieważ oraz , więc . Powyższą własność proporcji... więcej »
Matematyka » Podręcznik » proporcja |
| |
Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi Układ równań: gdzie , nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi i . Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb , która spełnia jednocześnie oba równania układu. Jeśli niewiadomych (i równań) jest więcej, to rozwiązaniem nazywamy odpowiednio trójkę, czwórkę itd.... więcej »
Matematyka » Podręcznik » układy równań |
| |
Metody rozwiązywania układu równań pierwszego stopnia Istnieje kilka metod rozwiązania układu równań pierwszego stopnia. Metoda podstawiania. W metodzie tej z jednego z równań wyznaczamy jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzymaną zależność wstawiamy do drugiego równania. Otrzymujemy w ten sposób równanie z jedną niewiadomą i rozwiązujemy je. Na koniec z otrzymanej w pierwszym... więcej »
Matematyka » Podręcznik » układy równań - metody rozwiązywania |
| |
Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Liczba rozwiązań Ilustracja graficzna Nazwa układu Jedno Proste przecinające się rysunek 49a.jpg Oznaczony (układ równań niezależnych) Nieskończenie wiele Proste pokrywające się rysunek 49b.jpg Nieoznaczony (układ równań zależnych) Brak rozwiązań Proste równoległe rysunek 49c.jpg... więcej »
Matematyka » Podręcznik » układy równań - liczba rozwiązań |
| |
Układy równań pierwszego stopnia z trzema niewiadomymi Układ równań: gdzie i , nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi . Rozwiązaniem układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi nazywamy każdą trójkę liczb , która spełnia jednocześnie wszystkie trzy równania układu. Rozwiązanie układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi polega na wyznaczeniu... więcej »
Matematyka » Podręcznik » układy równań z trzema niewiadomymi |
| |
Matematyka - Zadania SPIS ZADAŃ Koło, wycinek koła Figury wpisane i opisane na okręgu Pole i obwód figur Twierdzenie Talesa, jednokładność, podobieństwo Trygonometria Równania i nierówności Funkcja liniowa Układy równań Liczby rzeczywiste Zadania z trześcią ... więcej »
Matematyka » Zadania |
| |
Zadania - Koło, wycinek koła Zadanie 1 W kole o środku O poprowadzono cięciwę, która nie jest średnicą. Punkt A dzieli tę cięciwę na dwa odcinki o długościach 11cm i 29cm. Odcinek AO ma 15cm. Oblicz promień tego koła. Zadanie 2 Z punktu A należącego do okręgu poprowadzono dwie prostopadłe cięciwy równej długości. Oblicz ich długość, jeżeli pole tego koła jest równe 64 P cm2 Zadanie 3 ... więcej »
Matematyka » Zadania » koło, wycinek koła |
| |
Zadania - Figury wpisane i opisane na okręgu Zadanie 1 W okrąg o promieniu długości r = 2Ö3cm wpisano trójkąt równoboczny. Oblicz pole i obwód tego trójkąta. Zadanie 2 W trójkąt prostokątny wpisano okrąg o promieniu 3Ö3cm. Wierzchołek jednego z kątów ostrych jest oddalony od środka tego okręgu o 6Ö3cm. Oblicz długości boków tego trójkąta. Zadanie 3 W okrąg wpisano trójkąt równoboczny... więcej »
Matematyka » Zadania » figury wpisane i opisane na okręgu |
| |
Zadania - Pole i obwód figur Zadanie 1 Bok rombu ma długość 10cm., a jedna z jego przekątnych ma długość 16cm. Oblicz pole i wysokość rombu. Zadanie 2 Krótsza przekątna dzieli równoległobok o kącie a=45o na dwa trójkąty prostokątne. Oblicz pole i obwód równoległoboku wiedząc, że dłuższy bok ma 5Ö2cm. Zadanie 3 Oblicz pole trapezu, którego boki równoległe mają długość 16cm i 44cm, a... więcej »
Matematyka » Zadania » pole i obwód figur |
| |
Zadania z wykorzystaniem trygonometrii Zadanie 1 Dany jest trapez prostokątny ABCD, w którym kąt DAB jest prosty. Na ramieniu AD tego trapezu obrano punkt E tak , by kąt DEC był przystający do kąta ABE. Oblicz miarę kąta BCE, wiedząc, że |ED| =4cm i |AB| =4Ö3cm. Zadanie 2 Stosunek długości podstaw pewnego trapezu wynosi 5:2. Różnica długości podstaw w tym trapezie wynosi 18cm. Wiedząc, że... więcej »
Matematyka » Zadania » trygonometria |
| |
Zadania - Równania i nierówności Zadanie 1 Rozwiąż równanie: Zadanie 2 Rozwiąż równanie: Zadanie 3 Rozwiąż nierówność oraz sprawdź, czy liczba spełnia tę nierówność. Zadanie 4 Jakie liczby całkowite spełniają równocześnie nierówności i Zadanie 5 Rozwiąż nierówność, zaznacz zbiór jej rozwiązań na osi liczbowej oraz wymień liczby naturalne spełniające tę nierówność ... więcej »
Matematyka » Zadania » równania i nierówności |
| |
Zadania - Funkcja liniowa Zadanie 1 Dana jest funkcja określona wzorem f(x)=-3x+6: a) sporządź wykres tej funkcji i znajdź jej miejsce zerowe; b) zbadaj, dla jakich wartości argumentu wartości funkcji są mniejsze od (-5); c) napisz wzór funkcji g(x), której wykres jest równoległy do wykresu funkcji f(x) i przechodzi przez punkt (-2,1). Zadanie 2 Uzupełnij brakujące współrzędne, jeśli... więcej »
Matematyka » Zadania » funkcja liniowa |
| |
Zadania - Układy równań Zadanie 1. Rozwiąż algebraicznie układ równań Zadanie 2. Rozwiąż algebraicznie układ równań Zadanie 3. Dopisz drugie równanie tak, aby otrzymać układ równań sprzecznych: Zadanie 4. Dla jakich wartości k rozwiązaniem poniższego układu równań jest para liczb dodatnich? Zadanie 5. Rozwiąż graficznie układy równań Zadanie 6. Rozwiąż algebraicznie... więcej »
Matematyka » Zadania » układy równań |
| |
Zadania - Liczby rzeczywiste Zadanie 1 Oblicz wartość wyrażeń: Zadanie 2 Oblicz: Zadanie 3 Oblicz wartość wyrażenia: Zadanie 4 Oblicz wartość wyrażenia: Zadanie 5 Oblicz 30% wartości wyrażenia: Zadanie 6 Oblicz 75% wartości wyrażenia: Zadanie 7 Jakim procentem liczby a jest liczba b, jeżeli Zadanie 8 Wyznacz liczbę, której 60% wynosi Zadanie 9 Oblicz... więcej »
Matematyka » Zadania » liczby rzeczywiste |
| |
Zadania z treścią Zadanie 1 Iloraz dwóch liczb naturalnych jest równy 1,25 a różnica 60% liczby większej i potrojonej liczby mniejszej jest równa (-81). Wyznacz te liczby. Zadanie 2 Napełniono miodem 20 słoików o pojemnościach po 1,5 litra i 2,5 litra. W większych słoikach było o 18 litrów miodu więcej niż w mniejszych. Ile napełniono mniejszych, a ile większych słoików? Zadanie 3 Za... więcej »
Matematyka » Zadania » zadania z treścią |
| |
Zadania - Bryły Zadanie 1 Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa prostego, którego podstawą jest romb o przekątnych 16cm i 20 cm, a przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt. Zadanie 2 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość podstawy wynosi 10cm, a kąt między ścianą boczną i podstawą wynosi. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość bryły. Zadanie 3 W... więcej »
Matematyka » Zadania » bryły |
| |
Matematyka - Zadania rozwiązane SPIS ZADA? ROZWIĄZANYCH Zadania z treścią Równania i nierówności Układy równań Liczby rzeczywiste Funkcja liniowa Zadania z wykorzystaniem twierdzenia Talesa ... więcej »
Matematyka » Zadania rozwiązane |
| |
Zadania z rozwiązaniami - Zadania z treścią Zadanie 1 W hurtowni rowerów stały rowery dziecięce i rowery górskie. Rowery dziecięce miały 3 koła a rowery górskie 2 koła. Wszystkich rowerów było 61 , a kół 147. Ile rowerów każdego rodzaju było w hurtowni? Rozwiązanie: 1 sposób: x : liczba rowerów dziecięcych 61 - x : liczba rowerów górskich 3x+2(61-x) = 147 3x+122-2x=147 x=147-122 ... więcej »
Matematyka » Zadania rozwiązane » zadania z treścią |
| |
Zadania z rozwiązaniami - Równania i nierówności Zadanie 1 Rozwiąż równanie Rozwiązanie: Zadanie 2 Rozwiąż nierówność: Zbiór rozwiązań zaznacz na osi liczbowej. Podaj najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą tę nierówność oraz liczbę odwrotną do niej. Rozwiązanie: Odpowiedź: Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą te nierówność jest -3. Liczbą odwrotną do niej jest ... więcej »
Matematyka » Zadania rozwiązane » równania i nierówności |
| |
Zadania z rozwiązaniami - Układy równań Zadanie 1 Rozwiąż algebraicznie i graficznie układ równań Rozwiązanie: Rozwiązanie algebraiczne 1. Metoda podstawienia 2. Metoda przeciwnych wspólczynników + Rozwiązanie graficzne k: y = 2x - 3 x 0 -1 2 y -3 -5 1 l: x 0 -2 2 y -2 -5 1 ... więcej »
Matematyka » Zadania rozwiązane » układy równań |
| |
Zadania z rozwiązaniami - Liczby rzeczywiste Zadanie 1 Oblicz wartość wyrażenia a) b) Rozwiązanie: a) b) Zadanie 2 Oblicz 80 % wartości wyrażenia: Rozwiązanie: Obliczam 80% z 30: Odpowiedź: 80% wartości podanego wyrażenia wynosi 24. Zadanie 3 Wyznacz liczbę której 12 % wynosi Rozwiązanie: Niech x oznacza szukaną liczbę. Zatem: Odpowiedź: Szukaną... więcej »
Matematyka » Zadania rozwiązane » liczby rzeczywiste |
| |
Zadania z rozwiązaniami - Funkcja liniowa Zadanie 1 Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(2,-1) i B=(-2,7) Rozwiązanie: Niech prosta przechodząca przez punkty A i B ma równanie y=ax+b . Współrzędne tych punktów spełniają to równanie.Otrzymujemy układ równań. -1=a2+b 7=a(-2)+b 2a+b=-1 -2a+b=7 ________________ 2b=6 b=3 b=3 -1=2a+3 b=3 2a=-4 ... więcej »
Matematyka » Zadania rozwiązane » funkcja liniowa |
| |
Zadania z rozwiązaniami - Zadania z wykorzystaniem twierdzenia Talesa Zadanie 1 W trapezie równoramiennym ABCD dłuższa podstawa AB równa się 12. Ramię AD ma długość 2. Ramiona przedłużono do ich przecięcia w punkcie E, przy czym |AD|:|DE|=1:4. a) Oblicz pole trójkąta ABE. b) Oblicz pole trapezu ABCD. c) Trójkąt DCE można uzyskać z trójkąta ABE przez pewną jednokładność. Podaj środek i skalę... więcej »
Matematyka » Zadania rozwiązane » zadania z wykorzystaniem twierdzenia Talesa |
| |
Zadania z rozwiązaniami - Trygonometria Zadanie 1 Oblicz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta ostrego a jeżeli: a) cosa = 0,6 b) tga = 2 Rozwiązanie: a) Korzystamy z tożsamości: ... więcej »
Matematyka » Zadania rozwiązane » trygonometria |
| |
| |
Baza wiedzy