Matematyka - Poradnik DEFINICJE, TWIERDZENIA, WZORY SPIS TREŚCI Logika Zbiory Liczby rzeczywiste Funkcje Funkcja liniowa Funkcja kwadratowa Funkcja wielomianowa Funkcje wymierne Funkcja potęgowa Funkcja wykładnicza Funkcja logarytmiczna Funkcje trygonometryczne Równania i nierówności Równania i nierówności trygonometryczne Ciągi Granica i ciągłość funkcji Pochodna funkcji ... więcej »
Matematyka » poradnik |
| |
Matematyka - Ciągi 1 Ciągiem nazywamy każdą funkcję , której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych (ciąg nieskończony) lub skończony początkowy podzbiór zbioru liczb naturalnych (ciąg skończony). Przyjmuje się też czasami, że dziedziną ciągu może być zbiór liczb naturalnych z zerem (np. w ciągu Fibonacciego). Wartość funkcji dla argumentu nazywamy tym wyrazem ciągu i oznaczamy... więcej »
Matematyka » poradnik » ciągi 1 |
| |
Matematyka - Ciągi 2 Ciąg arytmetyczny i geometryczny. Pojęcie ciągu arytmetycznego Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem arytmetycznym gdy jest co najmniej trzywyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby . Liczbę nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego. Pojęcie ciągu geometrycznego Ciąg liczbowy nazywamy ciągiem... więcej »
Matematyka » poradnik » ciągi 2 |
| |
Matematyka - Funkcje trygonometryczne 1 Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego wyrażają stosunki długości odpowiednich boków trójkąta prostokątnego, którego jednym z kątów jest kąt . Oznaczenia w trójkącie prostokątnym: - kąty ostre trójkąta, - przeciwprostokątna trójkąta, - przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta , -... więcej »
Matematyka » poradnik » funkcje trygonometryczne 1 |
| |
Matematyka - Funkcje 1 Niech X i Y będą niepustymi zbiorami. Funkcją odwzorowującą zbiór w zbiór , nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru dokładnie jednego elementu zbioru . Uwaga: aby przyporządkowanie było funkcją, musi, zgodnie z definicją, spełniać dwa warunki: Element ze zbioru musi być przyporządkowany każdemu elementowi zbioru , Każdemu elementowi zbioru musi być... więcej »
Matematyka » poradnik » funkcje 1-5 |
| |
Matematyka - Funkcje 3 Wykresy niektórych funkcji. Funkcja liniowa : Wykresem tej funkcji jest prosta przechodząca przez punkt i nachylona do osi OX pod kątem Funkcja kwadratowa : Wykresem tej funkcji jest krzywa zwana parabolą. Funkcja wymierna : Wykresem tej funkcji jest krzywa zwana ... więcej »
Matematyka » poradnik » funkcje 7-8 |
| |
Matematyka - Funkcje 2 Rodzaje funkcji Tabela zawiera definicje i omówienie różnych rodzajów funkcji: Nazwa Definicja i komentarz Funkcja 'w' Funkcję nazywamy funkcją 'w', jeśli zbiór jej wartości jest podzbiorem właściwym przeciwdziedziny:. (W zbiorze Y są elementy, które nie zostały przyporządkowane elementom należącym do zbioru X) Funkcja 'na' Funkcję nazywamy funkcją 'na', jeśli... więcej »
Matematyka » poradnik » funkcje 6 |
| |
Matematyka - Funkcje trygonometryczne 3 Wzory redukcyjne Wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta można otrzymać na podstawie znajomości wartości tych funkcji dla odpowiednich kątów ostrych. Służą do tego tzw. wzory redukcyjne. Jest 28 wzorów redukcyjnych. Przedstawia je tabela: Istnieje wzór ogólny, przy pomocy... więcej »
Matematyka » poradnik » Funkcje trygonometryczne3 |
| |
Matematyka - Funkcje trygonometryczne 4 Związki między funkcjami trygonometrycznymi Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta Między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta zachodzą następujące związki: , zwany jedynką trygonometryczną, , ... więcej »
Matematyka » poradnik » Funkcje trygonometryczne4 |
| |
Matematyka - Logika 1 Logika matematyczna zajmuje się badaniem związków między zdaniami wypowiadanymi w matematyce. Zdanie w logice W logice zdaniem nazywamy każde zdanie oznajmujące, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen: zdanie jest prawdziwe lub zdanie jest fałszywe. Zdania oznacza się małymi literami UWAGA! Zgodnie z powyższym określeniem w sensie logicznym nie są zdaniami... więcej »
Matematyka » poradnik » logika1 |
| |
Matematyka - Logika 2 Zdania złożone Zdania proste można łączyć odpowiednimi spójnikami otrzymując w ten sposób zdania złożone. W logice używa się do tego następujących spójników: Spójnik Symbol logiczny Nazwa zdania złożonego Nieprawda, że ~ Negacja I Ů Koniunkcja ... więcej »
Matematyka » poradnik » logika2 |
| |
Matematyka - Logika 3 Prawa rachunku zdań Prawem logicznym (prawem rachunku zdań, tautologią) nazywamy zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań je tworzących. Do dowodzenia praw logiki służy tzw. metoda zerojedynkowa. Rozpatruje się wszelkie możliwe wartości logiczne zdań tworzących i ocenia wartość logiczną zdania złożonego. Niektóre prawa... więcej »
Matematyka » poradnik » logika3 |
| |
Matematyka - Logika 4 Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Do opisu pojęć matematycznych nie starcza sam rachunek zdań. Np. równanie 3x + 5 = 0 nie jest zdaniem logicznym, ponieważ nie można o nim powiedzieć ani, że jest prawdziwe, ani, że jest fałszywe. Forma (funkcja) zdaniowa jest wyrażeniem zawierającym zmienną, które staje się zdaniem logicznym (fałszywym lub prawdziwym), gdy na miejsce... więcej »
Matematyka » poradnik » logika4 |
| |
Matematyka - Funkcje trygonometryczne 5 Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej Wprowadzenie miary łukowej kąta pozwala na określenie funkcji trygonometrycznych jako funkcji zmiennej rzeczywistej. Każda liczba rzeczywista może być potraktowana jako miara łukowa kąta o mierze stopniowej: Tak więc: , , , Własności funkcji trygonometrycznych zmiennej rzeczywistej. ... więcej »
Matematyka » poradnik » Funkcje trygonometryczne5 |
| |
Matematyka - Funkcja kwadratowa Pojęcie funkcji kwadratowej. Funkcję daną wzorem: gdzie są liczbami danymi i nazywamy funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym. Liczby nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej. Jednomian kwadratowy. Jeśli , to funkcję nazywamy jednomianem kwadratowym. Wykresem jednomianu kwadratowego jest parabola. Punkt , zwany... więcej »
Matematyka » poradnik » Funkcja kwadratowa |
| |
Matematyka - Funkcja liniowa Funkcją liniową nazywamy funkcję postaci: gdzie są ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Wykres funkcji liniowej Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Współczynnik nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej, współczynnik wyrazem wolnym. Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Każda prosta nierównoległa do osi y ma... więcej »
Matematyka » poradnik » funkcja liniowa |
| |
Matematyka - Funkcja logarytmiczna Logarytm Logarytmem dodatniej liczby przy podstawie , gdzie nazywamy wykładnik potęgi , do której należy podnieść liczbę , aby otrzymać liczbę Liczbę nazywamy podstawą logarytmu, liczbę - liczbą logarytmowaną, a liczbę logarytmem z liczby przy podstawie (wynikiem logarytmowania). Logarytm dziesiętny. Jeśli podstawą logarytmu jest... więcej »
Matematyka » poradnik » funkcja logarytmiczna |
| |
Matematyka - Funkcja potęgowa Funkcją potęgową nazywamy funkcję postaci: gdzie wykładnik i jest ustalony dla danej funkcji. Dziedzina, zbiór wartości i typ wykresu funkcji potęgowej zależą od wartości wykładnika Dla funkcja potęgowa jest wielomianem. Rodzaje funkcji potęgowej Zależność dziedziny, zbioru wartości i typu wykresu funkcji potęgowej od wartości wykładnika... więcej »
Matematyka » poradnik » funkcja potęgowa |
| |
Matematyka - Granica i ciągłość funkcji 1 Przed wprowadzeniem definicji granicy funkcji zdefiniujmy pewne niezbędne pojęcia. Otoczenie i sąsiedztwo punktu Jeśli dana jest funkcja , gdzie i , to dowolny ciąg , którego każdy wyraz należy do dziedziny funkcji f nazywamy ciągiem argumentów funkcji , natomiast ciąg nazywamy ciągiem wartości funkcji odpowiadającym ciągowi . Sąsiedztwo... więcej »
Matematyka » poradnik » granice i ciągłość funkcji 1 |
| |
Matematyka - Zbiory Pojęcie zbioru Pojęcie zbioru jest jednym z pierwotnych pojęć matematycznych, a więc pojęciem nie definiowanym. Używane jest we wszystkich działach matematyki, podobnie jak w mowie potocznej, w znaczeniu kolekcji określonych obiektów np. zbiór uczniów w klasie, zbiór liczb pierwszych, zbiór rozwiązań nierówności itp. Obiekty, które należą do danego zbioru nazywamy... więcej »
Matematyka » poradnik » zbiory |
| |
Matematyka - Kombinatoryka Kombinatoryką nazywamy dział matematyki zajmujący się zbiorami skończonymi oraz odwzorowaniami między nimi. Kombinatoryka jest sztuką liczenia - zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza głównie rachunkowi prawdopodobieństwa, gdzie znajduje... więcej »
Matematyka » poradnik » kombinatoryka |
| |
Matematyka - Granice i ciągłość funkcji 2 Granice wybranych funkcji , gdzie . . , gdzie jest wielomianem. , gdzie i są wielomianami i . dla . , . . . . . Jeśli , to: Przykład: Oblicz granice: Rozwiązanie: Granicą wielomianu w punkcie jest wartość tego wielomianu w punkcie (punkt 3 'Granice wybranych funkcji'), więc: Granica wielomianu w... więcej »
Matematyka » poradnik » granice i ciągłość funkcji 2 |
| |
Matematyka - Granice i ciągłość funkcji 3 Asymptoty Asymptota ukośna Prosta o równaniu , gdzie , jest asymptotą ukośną prawostronną (lewostronną) wykresu funkcji , jeżeli: . Wykres funkcji ma asymptotę ukośną prawostronną (lewostronną), jeśli spełnione są warunki (lub ), (lub ), (lub . Jeśli co najmniej jedna z granic (lub ), (lub > nie istnieje lub jest... więcej »
Matematyka » poradnik » granice i ciągłość funkcji 3 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności trygonometryczne 1 Równania trygonometryczne Równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje wyłącznie jako argument funkcji trygonometrycznych. Funkcje trygonometryczne są okresowe. Wynika stąd, że jeśli liczba jest rozwiązaniem równania trygonometrycznego, to rozwiązaniem tego równania jest również każda liczba... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności trygonometryczne 1 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności trygonometryczne 2 Rozwiązanie dowolnego równania trygonometrycznego Metoda rozwiązywanie dowolnego równania trygonometrycznego jest zależna od typu tego równania. Zostaną omówione trzy z nich. 1. Równania dające się sprowadzić do postaci: , gdzie jest jedną z funkcji trygonometrycznych , a i są funkcjami zmiennej . Rozwiązanie takiego równania... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności trygonometryczne 2 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności trygonometryczne 3 Nierówności trygonometryczne Nierównością trygonometryczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje wyłącznie jako argument funkcji trygonometrycznych. Proste nierówności trygonometryczne Proste nierówności trygonometryczne rozwiązuje się w oparciu o wykresy odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Przy konstruowaniu... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności trygonometryczne 3 |
| |
Matematyka - Rachunek prawdopodobieństwa 1 Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem zjawisk losowych (np. rzut monetą, rzut kostką do gry, loterie itp.) i praw rządzących tymi zjawiskami. Doświadczenie losowe Doświadczeniem losowym nazywamy takie doświadczenie, którego wyniku nie można przewidzieć, a przy powtarzaniu go w identycznych warunkach możemy otrzymać różne wyniki. ... więcej »
Matematyka » poradnik » rachunek prawdopodobieństwa 1 |
| |
Matematyka - Rachunek prawdopodobieństwa 2 Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo zdarzenia jest abstrakcyjnym odpowiednikiem pojęcia częstości wystąpienia zdarzenia w serii doświadczeń. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Niech będzie zbiorem zdarzeń elementarnych. Jeżeli każdemu zdarzeniu przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba taka, że: (prawdopodobieństwo... więcej »
Matematyka » poradnik » rachunek prawdopodobieństwa 2 |
| |
Matematyka - Rachunek prawdopodobieństwa 3 Prawdopodobieństwo całkowite Jeśli para jest przestrzenią probabilistyczną, natomiast zdarzenia są dowolnymi zdarzeniami tej przestrzeni spełniającymi następujące warunki: dla dla ,to dla dowolnego zdarzenia zachodzi wzór: Powyższe twierdzenie nazywamy twierdzeniem o prawdopodobieństwie całkowitym. Przykład: W urnie A znajduje się... więcej »
Matematyka » poradnik » rachunek prawdopodobieństwa 3 |
| |
Matematyka - Pochodna funkcji 1 Iloraz różnicowy funkcji. Jeśli funkcja jest funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu , a jest liczbą taką, że , to iloraz: nazywamy ilorazem różnicowym funkcji w punkcie ,dla przyrostu zmiennej niezależnej. Liczbę nazywamy przyrostem argumentu, a liczbę nazywamy przyrostem wartości funkcji . Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego.... więcej »
Matematyka » poradnik » pochodna funkcji 1 |
| |
Matematyka - Pochodna funkcji 2 Pochodne funkcji elementarnych Funkcja Pochodna Założenia , Przykład: Oblicz pochodne funkcji: , , , , , , .Rozwiązanie: , ponieważ funkcja jest funkcją stałą. . Skorzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu. . Należy skorzystać ze wzoru na... więcej »
Matematyka » poradnik » pochodna funkcji 2 |
| |
Matematyka - Pochodna funkcji 3 Zastosowanie pochodnej do badania funkcji Przedziały monotoniczności funkcji Za pomocą pochodnej można wyznaczyć przedziały, w których dana funkcja różniczkowalna jest monotoniczna. Kryterium różniczkowe badania monotoniczności funkcji. Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja jest określona i różniczkowalna w przedziale , a jej pochodna przyjmuje, w co... więcej »
Matematyka » poradnik » pochodna funkcji 3 |
| |
Matematyka - Zmienna losowa Zmienna losowa Bardzo często ze zdarzeniami losowymi wiąże się pewne wielkości liczbowe. Niech para będzie przestrzenią probabilistyczną. Każdą funkcję określoną na zbiorze skończonym o wartościach rzeczywistych nazywamy zmienną losową przestrzeni probabilistycznej , krótko zmienną losową. Zmienne losowe będziemy oznaczać literami lub ... więcej »
Matematyka » poradnik » zmienna losowa |
| |
Matematyka - Funkcja wykładnicza Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję postaci: , gdzie Dziedziną każdej funkcji wykładniczej jest zbiór liczb rzeczywistych , a zbiorem wartości zbiór liczb rzeczywistych dodatnich : Wykres funkcji wykładniczej nazywa się krzywą wykładniczą. Własności funkcji wykładniczych Własności funkcji wykładniczych są przedstawione w tabeli: ... więcej »
Matematyka » poradnik » funkcja wykładnicza |
| |
Matematyka - Funkcje trygonometryczne 2 Funkcje trygonometryczne kątów przeciwnych Na podstawie położenia końcowych ramion kątów przeciwnych można wnioskować o zależnościach między funkcjami trygonometrycznymi tych kątów. Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów Tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów. Kąt w stopniach 0o 15o 30o 45o 60o 90o... więcej »
Matematyka » poradnik » funkcje trygonometryczne2 |
| |
Matematyka - Funkcje wymierne Pojęcie funkcji wymiernej Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci: , gdzie i są wielomianami i nie jest wielomianem zerowym. Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które nie są pierwiastkami wielomianu w mianowniku: Każda funkcja wielomianowa jest funkcją wymierną (dla ) Ułamki proste Funkcje... więcej »
Matematyka » poradnik » funkcje wymierne |
| |
Matematyka - Funkcja wielomianowa Pojęcie wielomianu Wielomianem -tego stopnia jednej zmiennej (funkcją wielomianową) nazywamy funkcję postaci: , gdzie , i Liczby nazywamy współczynnikami wielomianu, liczbę nazywamy wyrazem wolnym. Stopień wielomianu Stopniem wielomianu jednej zmiennej nazywamy największy wykładnik potęgi zmiennej w tym wyrazie, w którym współczynnik... więcej »
Matematyka » poradnik » funkcja wielomianowa |
| |
Matematyka - Liczby rzeczywiste 1 Liczby naturalne Liczby nazywamy liczbami naturalnymi. Wielu autorów do liczb naturalnych nie zalicza , zależy to jednak jedynie od przyjętej umowy. Pytanie "Czy jest liczbą naturalną" jest cały czas przedmiotem dyskusji matematyków. Za pomocą liczb naturalnych określa się liczbę elementów zbioru. Liczby naturalne... więcej »
Matematyka » poradnik » liczby rzeczywiste 1 |
| |
Matematyka - Liczby rzeczywiste 5 Symbol Newtona. Symbolem Newtona nazywamy wyrażenie mające postać: gdzie i . Symbol Newtona czytamy ''. Własności symbolu Newtona. Dla każdej pary liczb naturalnych i prawdziwe są wzory: . i Czwarta z powyższych równości znajduje zastosowanie do budowania trójkąta Pascala, w którego -tym wierszu umieszczone są liczby dla ... więcej »
Matematyka » poradnik » liczby rzeczywiste 8 h |
| |
Matematyka - Liczby rzeczywiste 2 Liczby całkowite Zbiór liczb całkowitych składa się ze wszystkich liczb naturalnych i liczb do nich przeciwnych. Zbiór liczb całkowitych oznaczamy symbolem (w literaturze naukowej liczby całkowite oznacza się symbolem ). Zatem: . Przez oznaczamy zbiór liczb całkowitych dodatnich, a przez zbiór liczb całkowitych ujemnych, czyli: ... więcej »
Matematyka » poradnik » liczby rzeczywiste 2-5 |
| |
Matematyka - Liczby rzeczywiste 4 Działania na liczbach i wyrażeniach Proporcja. Proporcją nazywamy równość dwóch ułamków (stosunków): lub , gdzie . Wyrażenia nazywamy wyrażeniami skrajnymi, a wyrażenia nazywamy wyrażeniami środkowymi proporcji. W proporcji iloczyn wyrazów środkowych jest równy iloczynowi wyrażeń skrajnych: . Własności proporcji: Jeśli , to: ... więcej »
Matematyka » poradnik » liczby rzeczywiste 8 a-g |
| |
Matematyka - Liczby rzeczywiste 3 Oś liczbowa Osią liczbową nazywamy prostą, na której 1. obrano punkt zerowy, 2. jeden ze zwrotów osi uznano za zwrot dodatni, 3. obrano jednostkę osi. Oś liczbowa Istnieje ścisły związek między liczbami rzeczywistymi a punktami osi liczbowej: Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować jeden punkt osi liczbowej i na odwrót,... więcej »
Matematyka » poradnik » liczby rzeczywiste 6-7 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 1 Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń, z których co najmniej jedno zawiera niewiadomą. Równanie może zawierać kilka niewiadomych. Nierównością nazywamy dwa wyrażenia, z których co najmniej jedno zawiera niewiadomą, połączone znakiem: lub znakiem (nierówność ostra), lub znakiem lub znakiem (nierówność nieostra). Nierówność może zawierać... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności 1 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 2 Równania i nierówności liniowe Równania liniowe z jedną niewiadomą. Równaniem liniowym z jedną niewiadomą nazywamy równanie postaci: , gdzie Liczby i nazywamy współczynnikami równania: - współczynnik przy niewiadomej , - wyraz wolny. Ilość rozwiązań równania liniowego zależy od wartości współczynników i . Zależność tę przedstawia tabela: ... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności liniowe 2 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 3-4 Metody rozwiązywania układu równań pierwszego stopnia. Istnieje kilka metod rozwiązania układu równań pierwszego stopnia. 1. Metoda podstawiania. W metodzie tej z jednego z równań wyznaczamy jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzymaną zależność wstawiamy do drugiego równania. Otrzymujemy w ten sposób równanie z jedną niewiadomą i... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności liniowe 3-4 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 5 Układy równań pierwszego stopnia z trzema niewiadomymi. Układ równań: gdzie i , nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi Rozwiązaniem układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi nazywamy każdą trójkę liczb , która spełnia jednocześnie wszystkie trzy równania układu. Rozwiązanie układu trzech równań liniowych z... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności liniowe 5 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności Równania i nierówności kwadratowe Równania kwadratowe. Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci: gdzie są danymi liczbami i Jeśli , to równanie kwadratowe nazywamy zupełnym. Jeśli , to równanie kwadratowe nazywamy niezupełnym. Istnienie i liczba pierwiastków równania kwadratowego zależy od wyróżnika trójmianu kwadratowego znajdującego... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności 6 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 7-8 Wzory Viete'a. Jeżeli i wyróżnik równania , to obliczając sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego otrzymujemy następujące wzory nazywane wzorami Viete'a: Wzory te pozwalają np. obliczać wartości pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki równania kwadratowego, czy też badać znaki pierwiastków, bez wyznaczania tych pierwiastków. ... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności kwadratowe 7-8 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 9 Nierówności kwadratowe Nierównością kwadratową z jedną niewiadomą nazywamy każdą nierówność postaci: , , gdzie Aby rozwiązać nierówność kwadratową z jedną niewiadomą należy obliczyć pierwiastki trójmianu znajdującego się po lewej stronie tej nierówności, a następnie naszkicować wykres tego trójmianu. Z wykresu odczytuje się przedziały, w... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierowności kwadratowe 9 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 10 Równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi. Równanie postaci: , gdzie nazywamy równaniem drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi i Rozwiązaniem równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb spełniająca to równanie. Równanie powyższe może mieć, w zależności od wartości jego współczynników, jedno rozwiązanie,... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności kwadratowe 10 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 11 Równania i nierówności -tego stopnia Równania -tego stopnia Równanie: gdzie jest wielomianem stopnia , nazywamy równaniem algebraicznym -tego stopnia ( w skrócie równaniem -tego stopnia): W szczególności równaniami -tego stopnia są omówione już równania liniowe i kwadratowe. Istnieją skomplikowane wzory pozwalające obliczyć pierwiastki równań... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności n-tego stopnia 11 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 12 Twierdzenie o pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych. Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu są całkowite i wielomian ten posiada pierwiastki wymierne postaci , to liczba jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a liczba jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze . Gdy dodatkowo współczynnik przy najwyższej potędze jest równy... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności n-tego stopnia 12 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 13-14 Nierówności algebraiczne -tego stopnia. Nierównością algebraiczną nazywamy każdą nierówność postaci: gdzie jest wielomianem. Nierówności algebraiczne rozwiązuje się w dwóch etapach: 1. Rozłożenie na czynniki wielomianu znajdującego się po lewej stronie nierówności, co zostało omówione w punkcie: Równania algebraiczne -tego stopnia. 2.... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności n-tego stopnia 13-14 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 15 Równania i nierówności wymierne. Równania wymierne. Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci: gdzie i są wielomianami i nie jest wielomianem zerowym. Dziedzina równania wymiernego. Dziedziną równania wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku wyrażenia : ... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności wymierne15 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 16 Nierówności wymierne. Nierównością wymierną nazywamy każdą nierówność postaci: , , , . gdzie i są wielomianami i nie jest wielomianem zerowym. Dziedzina nierówności wymiernej. Dziedziną nierówności wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku wyrażenia : Przy... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności wymierne 16 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 17 Równania i nierówności wykładnicze. Równania wykładnicze. Równaniem wykładniczym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi. Sposób rozwiązania równania wykładniczego zależy od jego typu. Najczęściej jednak w rozwiązaniu stosuje się metodę sprowadzania do wspólnej podstawy lub metodę podstawienia. Podstawowe metody... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności wykładnicze 17 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 18 Równania i nierówności logarytmiczne. Równania logarytmiczne. Równanie, w którym niewiadoma występuje wyłącznie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu nazywamy równaniem logarytmicznym. Wyrażenie logarytmowane musi być dodatnie, a podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią różną od jedynki, więc warunki te ograniczają dziedzinę... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności logarytmiczne 18 |
| |
Matematyka - Równania i nierówności 19 Nierówności logarytmiczne. Nierówność, w której niewiadoma występuje w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu nazywamy nierównością logarytmiczną. Metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych są analogiczne do metod rozwiązywania podobnych równań logarytmicznych. Jedyną różnicę stanowi sposób przechodzenia z nierówności logarytmów do... więcej »
Matematyka » poradnik » równania i nierówności logarytmiczne 19 |
| |
Matematyka - Indeks A B C D E F G H I J K L M N O P R S Ś T U W Z A Aksjomat ciągłości zbioru liczb rzeczywistych Aksjomaty prawdopodobieństwa Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Alfabet grecki-Tablice Alternatywa wykluczająca Alternatywa zdań Asymptota pionowa Asymptota pozioma Asymptota ukośna Asymptota B Badanie... więcej »
Matematyka » indeks |
| |
Indeks tablic matematycznych A C D E F G H I K L O P R S T W Z A Alfabet grecki C Całka oznaczona Całki funkcji elementarnych Czworokąty D Długość wektora Dwumian Newtona Działania na funkcjach E Elipsa F Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego Funkcje trygonometryczne kąta potrojonego Funkcje trygonometryczne połowy... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne |
| |
Pochodne Pochodna prawostronna: Pochodna lewostronna: Pochodna jako funkcja Twierdzenia o pochodnych gdy funkcja f ma pochodną w punkcie g(x), a funkcja g w punkcie x. Tw.... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Pochodne |
| |
Alfabet grecki A a Alfa I i Jota R r Ro B b Beta K k Kappa S s Sigma G g Gamma L l Lambda T t Tau D d Delta M m Mi U u Ypsilon E e Epsilon N n Ni F f Fi Z z Dzeta X x Ksi C c Chi H h Eta O o Omikron Y y Psi Q q Teta P p Pi W w... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Tablice greckie |
| |
Przedrostki w systemie miar Podwielokrotność Przedrostek Symbol Wielokrotność Przedrostek Symbol 10-1 decy d 101 deka da 10-2 centy c 102 hekto h 10-3 mili m 103 kilo k 10-6 mikro m 106 mega M 10-9 nano n 109 giga G 10-12 piko p 1012 tera T 10-15 femto f 1015 peta P 10-18 atto ... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Przedrostki w sytemie miar |
| |
Wzory skróconego mnożenia Dwumian Newtona , gdzie n Î N, k Î N i k ? n Wzór Newtona: Tablica wzorów skróconego mnożenia Kwadrat sumy (a + b)2 = a2 + 2ab + c2 Kwadrat różnicy (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Różnica kwadratów a2 - b2 = (a -b)(a +b) Sześcian sumy (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Sześcian różnicy (a - b)3 = a3 - 3a2b +3ab2 - b3 Suma sześcianów a3 + b3 = (a... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Wzory skróconego mnozenia |
| |
Prawa rachunku zdań Prawo podwójnego przeczenia ~ (~ p) Ű p Prawo łączności koniunkcji ( p Ů q ) Ů r Ű p Ů ( q Ů r ) Prawo łączności alternatywy ( p Ú q ) Ú r Ű p Ú ( q Ú r ) Prawo zaprzeczenia implikacji ~ ( p Ţ q ) Ű [ p Ů ( ~ q)] Prawo zaprzeczenia koniunkcji ~ ( p Ů q ) ) Ű [ ~ p Ú ( ~ q)] Prawo zaprzeczenia alternatywy ~ ( p Ú q ) Ű [ ~ p Ů ( ~ q)] Prawo przechodniości... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Prawa rachunku zdań |
| |
Prawa rachunku zbiorów Przemienność sumy zbiorów A Č B = B Č A Przemienność iloczynu zbiorów A Ç B = B Ç A ?ączność sumy zbiorów ( A Č C ) Č C = A Č ( B Č C ) ?ączność iloczynu zbiorów ( A Č B ) Č C = A Č ( B Č C ) Prawa de Morgana dla zbiorów ( A Č B )' = A' Č B' ( A Č B )' = A' Č B' Rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów A Č ( B Č C ) = ( A Č B ) Č ( A Č C ) Rozdzielność... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Prawa rachunku zbiorów |
| |
Działania na funkcjach ,gdy x Î Df i k Î R ,gdy x Î Df Ç Dg ,gdy x Î Df Ç Dg ,gdy x Î Df Ç Dg ,gdy x Î Df Ç... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Działania na funkcjach |
| |
Pochodne funkcji elementarnych Wzór funkcji y = f(x) Pochodna f'(x) funkcji f Uwagi C Î R a Î R {0, 1} x > 0 x ą 0 x > 0, n Î N {0, 1} x ą p/2 + kp dla k Î C x ą kp dla k Î C a > 0 x > 0 x ą 0 a > 0, a ą 1, x >... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Pochodne funkcji elementarnych |
| |
Podstawowe prawa całkowania Całka z iloczynu funkcji przez stałą , gdzie a Î R Całka z sumy(różnicy) funkcji Całkowanie przez części Całkowanie przez podstawienie , gdzie t = g(x) i dt = g'(x)dx Całki funkcji elementarnych Całka oznaczona wzór ogólny Podstawowe własności całki... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Całki |
| |
Logarytmy Logarytm iloczynu ,gdy Logarytm ilorazu ,gdy i Logarytm potęgi ,gdy Logarytm pierwiastka ,gdy Zmiana podstawy logarytmu ,gdy ,gdy ... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Logarytmy |
| |
Trygonometria Związki między funkcjami trygonometrycznymi Funkcje kąta podwojonego Funkcje kąta potrojonego Funkcje połowy kąta Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów ,gdy ... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Trygonometria |
| |
Wzory redukcyjne I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka sinf cosa cosa sina -sina -cosa -cosa -sina cosf sina -sina -cosa -cosa -sina sina cosa tgf ctga -ctga -tga tga ctga -ctga -tga ctgf tga -tga ctga ctga tga -tga... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Wzory redukcyjne |
| |
Koło i Okrąg Pierścień Pierścieniem kołowym nazywamy część płaszczyzny ograniczoną dwoma współśrodkowymi okręgami o promieniach R i r ,gdzie r R, wraz z tymi okręgami. Pole pierścienia kołowego P = p (R2 - r2) Wycinek Wycinkiem kołowym nazywamy każdą część, na jakie dzielą koło dwa nie pokrywające się promienie, wraz z tymi promieniami. Pole wycinka koła Odcinek ... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Koło i okrąg |
| |
Elipsa Równanie elipsy o środku S = (0, 0) ,gdzie a > 0, b > 0 Równanie stycznej do elipsy o środku S = (0, 0) ,gdzie a > 0, b > 0 Równanie elipsy o środku S = (xs, ys) ,gdzie a > 0, b > 0 Równanie stycznej do elipsy o środku S = (xs, ys) ,gdzie a > 0, b > 0 Równanie kierownic... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Elipsa |
| |
Hiperbola Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których wartość bezwzględna różnicy odległości od dwóch ustalonych punktów F1 , F2, zwanych ogniskami hiperboli, jest wielkością stałą i równą 2a, gdzie 0 < 2a < F1F2 = 2c Równanie hiperboli o środku S = (0,0) ,gdzie a > 0, b > 0 Równanie stycznej do hiperboli o środku S = (0,0) , gdzieP0 =... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Hiperbola |
| |
Parabola Parabolą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny równo oddalonych od ustalonego punktu F Ď k , zwanego ogniskiem i od prostej k zwanej kierownicą. Równanie paraboli o wierzchołku w punkcie W = (0,0) y2 = 2px y = ax2 ,gdzie Równanie stycznych do paraboli Kierownica... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Parabola |
| |
Wielokąty foremne Promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym , gdzie: a-długość boku wielokąta, n- liczba boków wielokąta Promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny , gdzie: a-długość boku wielokąta, n- liczba boków wielokąta Kąt wewnętrzny n-kąta foremnego Rodzaj wielokąta foremnego Pole (P) Promień okręgu opisanego na wielokącie (R) Promień... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Wielokąty foremne |
| |
Płaszczyzna w przestrzeni Odległości między punktami Na osi Na płaszczyźnie W przestrzeni Odległość punktu od prostej na płaszczyźnie ,gdzie l: Ax + By + C = 0 , oraz A2 + B2 0 P: (xp , yp) Odległość punktu od prostej w przestrzeni ,gdzie a: Ax + By + Cz + D = 0, oraz A2 + B2 + C2 0 P: (xp , yp , zp) Współrzędne wektora Na osi Na... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Płaszczyzna w przestrzeni |
| |
Trójkąt Twierdzenie sinusów (Snelliusa) Twierdzenie cosinusów (Carnota) Twierdzenie tangensow (Regimontana) Promień okręgu wpisanego i opisanego W trójkącie prostokątnym W trójkącie równobocznym W trójkącie dowolnym Pole trójkąta... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Trójkąt |
| |
Czworokąty Czworokąt wypukły Twierdzenie Ptolemeusza Jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to iloczyn długości jego przekątnych jest równy sumie iloczynów długości boków przeciwległych. Pole czworokąta wypukłego Wzór ogólny Wzór na pole czworokąta wypukłego opisanego na okręgu Wzór na pole czworokąta wypukłego wpisanego w okrąg , gdzie Trapez Pole... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Czworokąty |
| |
Pola i objętości wielościanów Graniastosłupy Graniastosłup prosty jest to graniastosłup, w którym krawędzie boczne są prostopadłe do płaszczyzn, oraz długość wysokości tego graniastosłupa jest równa długości jego krawędzi bocznej. Graniastosłup prawidłowy jest to graniastosłup, w którym podstawy są wielokątami foremnymi, oraz długość jego wysokości jest równa jego krawędzi bocznej. ... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Pola i objętości wielościanów |
| |
Kombinatoryka Wariacje Wariacje bez powtórzeń , gdzie k ? n, n, k Î N+ Wariacje z powtórzeniami , gdzie n,k Î N+ Permutacje Permutacje z powtórzeniami , gdzie ni Î N+ , i = 1,2,3,...,k , ni - liczba powtórzeń Permutacje bez powtórzeń , gdzie n Î N+ Kombinacje Kombinacje bez powtórzeń , gdzie k ? n , n, k Î... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Kombinatoryka |
| |
Kula Kula Kulą o środku O i promieniu R, nazywamy zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od punktu O nie jest większa niż R. Części kuli Odcinkiem kuli nazywamy każdą z dwóch części kuli, na które dzieli tę kulę płaszczyzna przechodząca przez jej wnętrze wraz z przekrojem kuli tą płaszczyzną. Wycinkiem kuli nazywamy część kuli ograniczoną powierzchnią kuli i... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Kula |
| |
Bryły osiowe Walec Walcem nazywamy bryłę powstałą poprzez prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z boków prostokąta. Bok prostokąta zawarty na osi obrotu walca jest wysokością walca, a drugi jego bok jest promieniem walca. Stożek Stożkiem nazywamy bryłę obrotową powstałą na skutek obrotu trójkąta prostokątnego dokoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych. ... więcej »
Matematyka » tablice matematyczne » Bryły osiowe |
| |
MATEMATYKA - TESTY SPIS TREŚCI 1. Zbiory 2. Działania na liczbach i wyrażeniach 3. Ciągi liczbowe 4. Funkcje trygonometryczne 5. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne 6. Wielomiany. Funkcje wymierne 7. Badanie funkcji 8. Geometria analityczna na płaszczyźnie 9. Planimetria 10. Stereometria 11. Kombinatoryka 12. Rachunek... więcej »
Matematyka » testy |
| |
1. ZBIORY 1.1. Ile niepustych podzbiorów można utworzyć ze zbioru trójelementowego: a. 3 b. 7 c. 8 1.2. Trzy koła oznaczone symbolami A, B, C przecinają się jak na rysunku. Część wyróżniona to zbiór: a. (B - A) Ç C b. A Ç B Ç C c. (B Ç C) - A 1.3. Trzy koła oznaczone symbolami A, B, C przecinają się jak na rysunku. Część wyróżniona to... więcej »
Matematyka » testy » 1. zbiory |
| |
2. DZIA?ANIA NA LICZBACH I WYRAŻENIACH 2.1. Która z poniższych liczb jest największa (przy założeniu, że 0 < a < 1): a. a1/2 b. a2 c. a - 2 2.2. Która z poniższych liczb jest najmniejsza (a, b - liczby rzeczywiste dodatnie): a. b. a + b c. |a - b| 2.3. Wynikiem uproszczenia wyrażenia jest a. 1 b. c. 6 2.4. Liczba jest kwadratem liczby a. b. c. 2.5. Wartość... więcej »
Matematyka » testy » 2. działania na liczbach i wyrażeniach |
| |
3. CIĄGI LICZBOWE 3.1. Który ciąg jest ciągiem monotonicznym a. an = cos np b. c. an = 2-n 3.2. Dany jest ciąg: . Ogólny wyraz tego ciągu ma postać: a. b. c. 3.3. Który z poniższych ciągów jest zbieżny: a. (-1)n cos (pn) b. c. 3.4. Ciąg arytmetyczny zaczyna się od wyrazów: 1, 5, 9, 13. Ogólna postać wyrażenia na n-ty wyraz to: a. n2 + 1 b. 4n - 3 c. n + 3 3.5.... więcej »
Matematyka » testy » 3. ciągi liczbowe |
| |
4. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE. 4.1. Które z poniższych wyrażeń ma największą wartość: a. sin 1 b. sin 1o c. sin (p/100) 4.2. Największą wartością wyrażenia (sin x + cos x) jest: a. 2 b. c. 1 4.3. Najmniejszą wartością wyrażenia (tg x + ctg x) (dla x leżącego w przedziale (0, p/2) jest: a. 2 b. 1 c. 0 4.4. Ile wynosi wartość sumy S = sin 10o + sin 20o + sin 30o + . . . + sin... więcej »
Matematyka » testy » 4. funkcje trygonometryczne |
| |
5. FUNKCJE WYK?ADNICZE I LOGARYTMICZNE 5.1. Minimalną wartością funkcji jest a. 2 b. 3/2 c. 1 5.2. Funkcja f(x) = 3x-|x| osiąga wartość 1 a. tylko dla x = 1 b. tylko dla x = 0 c. dla wszystkich x ł 0 5.3. Nierówność (0,5)x+3 > 1/32 jest spełniona dla a. 0 < x < 4 b. x > 4 c. x <4 5.4. Nierówność jest spełniona dla a. x >0 b. 0 <x<4 c. X < 0 ... więcej »
Matematyka » testy » 5. funkcje wykładnicze i logarytmiczne |
| |
6. WIELOMIANY. FUNKCJE WYMIERNE 6.1 Wielomian W = x4 + 4: a. nie ma miejsc zerowych b. nie ma postaci iloczynowej c. rozkłada się na dwa czynniki kwadratowe 6.2. Trójmian 3x2 + 12x - 36 sprowadza się do postaci a. (x - 2)(x + 6) b. 3(x - 2)(x + 6) c. (3x - 2)(3x + 6) 6.3. Pierwiastkami równania x2 - 2|x| -8 = 0 są a. -2 ; 4 b. -4 ; 4 c. -2 ; -4 6.4. Najmniejsza wartość... więcej »
Matematyka » testy » 6. wielomiany, funkcje wymierne |
| |
7. BADANIE FUNKCJI 7.1. Które z poniższych równań określa y jako funkcję zmiennej x: a. log y - x + 1 = 0 b. x2 + y2 = 1 c. 7.2. Dziedziną funkcji jest a. (-Ą,0) b. (-2,0) c. <-2, 0> 7.3. Dziedziną funkcji jest a. R - {0} b. (0,Ą ) c. (1,Ą ) 7.4. Dziedziną funkcji jest: a. (0,1) b. <1,Ą) c. (0,10> 7.5. Dziedziną funkcji jest: a. R b. R - {1} ... więcej »
Matematyka » testy » 7. badanie funkcji |
| |
8. GEOMETRIA ANALITYCZNA NA P?ASZCZYŹNIE 8.1. Dane są dwa punkty: A(1,-1), B(3,1). Środek odcinka łączącego te punkty ma współrzędne a. (2,1) b. (2,0) c. (0,2) 8.2. Trzy wierzchołki kwadratu znajdują się w punktach: A(0,0), B(3,-1), C(1,3). Czwarty wierzchołek to punkt a. (3,3) b. (4,2) c. (2,4) 8.3. W kwadracie ABCD dany jest wierzchołek A(1,0) oraz wektor AC = [4,2]. Współrzędnymi... więcej »
Matematyka » testy » 8. geometria analityczna na płaszczyźnie |
| |
9. PLANIMETRIA 9.1. Pole trójkąta równobocznego wynosi . Ile wynosi jego obwód? a. b. 12 c. 16 9.2. Dane są trzy figury o tym samym polu (równym 1): trójkąt równoboczny, kwadrat i koło. Która a nich ma największy obwód? a. kwadrat b. koło c. wszystkie figury mają ten sam obwód 9.3. W koło o promieniu 1 wpisano prostokąt o największym polu. Wynosi ono a. 1 b. 2 c. p 9.4. Środek... więcej »
Matematyka » testy » 9. planimetria |
| |
10. STEREOMETRIA 10.1. Kula o promieniu 4 rozpadła się na cztery jednakowe kule o tej samej objętości łącznej. Promień każdej z nich wynosi: a. b. 1 c. 10.2. Kula o promieniu 4 rozpadła się na cztery jednakowe kule bez zmiany objętości całkowitej. ?ączne pole powierzchni mniejszych kul jest: a. takie samo, jak kuli pierwotnej b. zwiększyło się razy c. zmniejszyło się razy 10.3.... więcej »
Matematyka » testy » 10. stereometria |
| |
11. KOMBINATORYKA 11.1. W biegu uczestniczy 8 zawodników. Ile jest różnych możliwych kolejności na mecie? a. 8! b. 8 c. 40 320 11.2. Ile można sporządzić różnych tablic rejestracyjnych o postaci [WE nnnnn] (nnnnn - liczba naturalna pięciocyfrowa) a. 100 000 b. 99 999 c. 105/5! 11.3. Każda litera alfabetu Morse'a składa się z czterech znaków (kresek lub kropek). Ile różnych liter... więcej »
Matematyka » testy » 11. kombinatoryka |
| |
12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIE?STWA 12.1. Liczby 1, 2, 3, . . . , 20 zostały ustawione przypadkowo. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczby 5 i 6 pojawią się obok siebie w tej kolejności? a. 1/19 b. 1/20 c. 1/30 12.2. Winda z 4 pasażerami zatrzymuje się na 10 piętrach. Prawdopodobieństwo tego, że na żadnym piętrze nie wysiądzie więcej niż 1 osoba wynosi: a. 0,50 b. 0,40 c. 0,12 ... więcej »
Matematyka » testy » 12. rachunek prawdopodobieństwa |
| |
Matematyka - Odpowiedzi do testów 1. Zbiory 1.1. b 1.2. a, c 1.3. b, c 1.4. a 1.5. a 1.6. b 1.7. b 1.8. c 1.9. b 1.10. a 1.11. a, b 1.12. c 1.13. a 1.14. b 1.15. c 2. Działania na liczbach i wyrażeniach 2.1. c 2.2. c 2.3. a 2.4. b 2.5. a 2.6. a 2.7. a 2.8. b 2.9. a 2.10. b 2.11. a 2.12. b 2.13. a 2.14. b 2.15. b 2.16. b 2.17. c 2.18. c 2.19. c 2.20. b 3.... więcej »
Matematyka » testy » odpowiedzi |
| |
Najstarszy podręcznik geometrii Najstarszym znanym dziełem o geometrii jest papirus Ahmesa, który powstał ok. 4000 lat temu. W pracy tej zapisano bardzo ciekawy sposób obliczania pola koła: Pole koła równe jest polu kwadratu, którego bok równa się 8/9 długości średnicy. Dzisiaj znamy liczbę P (obliczamy ją dzieląc długość okręgu przez długość jego... więcej »
Matematyka » ciekawostki i sławni matematycy |
| |
LITERATURA PRZEDMIOTU - Matematyka PODR?CZNIKI Anusiak J. - Matematyka. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum klasa I. WSiP. (149/96). Anusiak J. - Matematyka. Podręcznik dla liceum ogólnokształcącego i technikum klasa II. WSiP. (150/96). Browkin J. - Matematyka IV. Podręcznik dla klasy czwartej liceum oraz czwartej i piątej technikum. WSiP. (446/93). ... więcej »
Matematyka » literatura przedmiotu |
| |
Symbole matematyczne Symbol Jego znaczenie Symbol Jego znaczenie Symbol Jego znaczenie Symbol Jego znaczenie i (koniunkcja) jest równy tożsamościowo (jest przystający) pół prosta A przechodząca przez punkt B P(X) = X' X' jest obrazem X w przekształeceniu P lub (alternatywa) jest w przybiżeniu równy odcinek o końcach A i B P-1 przekształcenie odwrotne do... więcej »
Matematyka » symbole matematyczne |
| |
| |
Baza wiedzy