logika4

Matematyka - Logika 4

Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory

Do opisu pojęć matematycznych nie starcza sam rachunek zdań. Np. równanie 3x + 5 = 0 nie jest zdaniem logicznym, ponieważ nie można o nim powiedzieć ani, że jest prawdziwe, ani, że jest fałszywe.

Forma (funkcja) zdaniowa jest wyrażeniem zawierającym zmienną, które staje się zdaniem logicznym (fałszywym lub prawdziwym), gdy na miejsce zmiennej podstawimy nazwę odpowiedniego elementu.

Dziedziną formy zdaniowej jest zbiór tych elementów,  dla których  zdanie uzyskane z formy zdaniowej jest sensowne.
 
Zbiór elementów należących do dziedziny formy zdaniowej, dla których zdanie staje się prawdziwe, nazywamy zbiorem elementów spełniających daną formę zdaniową:
.
 
Formy zdaniowe oznacza się symbolicznie
 
Każde równanie i każda nierówność jest formą zdaniową, której dziedziną jest pewien podzbiór liczb rzeczywistych.
 
Podobnie można określić formy zdaniowe dwóch zmiennych lub większej liczby zmiennych.
 
Kwantyfikatory.
 
Forma zdaniowa staje się zdaniem, gdy w miejsce zmiennej wstawi się nazwę odpowiedniego elementu.
 
Innym sposobem uzyskania zdania z formy zdaniowej jest poprzedzenie jej sformułowaniem:

1. istnieje element należący do dziedziny, dla którego forma zdaniowa staje się zdaniem prawdziwym.
   
2. dla każdego elementu należącego do dziedziny forma zdaniowa staje się zdaniem prawdziwym.

Zwroty :
"istnieje takie "
"dla każdego "
nazywamy kwantyfikatorami.

Zwrot  "istnieje taki x, że ..." nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym lub małym i zapisujemy symbolicznie:
 
(lub x).
 
Zwrot " dla każdego x..."  nazywamy kwantyfikatorem ogólnym lub dużym i zapisujemy symbolicznie:
 
(lub )
Przykład:
 

Zdanie	Zapis przy pomocy kwantyfikatora	Wartość logiczna
a) Istnieją liczby rzeczywiste mniejsze od -5.		1
b) Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.		1
c) Wszystkie liczby  rzeczywiste są wymierne.		0
d) Niektóre liczby naturalne są  niewymierne.		0

 

Zaprzeczenia zdań z kwantyfikatorami
 
Zdanie: "Nieprawda, że wszystkie elementy zbioru spełniają pewien warunek" jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy choć jeden element zbioru nie spełnia tego warunku.
 
I prawo De Morgana dla kwantyfikatorów:
 

Aby wykazać, że zdanie  jest fałszywe, wystarczy znaleźć jeden element , dla którego zdanie  jest fałszywe.
 
Np.  zdanie:   jest zdaniem fałszywym, ponieważ np. dla  jest zdaniem fałszywym.
 
Zdanie: "Nieprawda, że istnieje element zbioru spełniający pewien warunek" jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy zbioru nie spełniają tego warunku.
 
II prawo De Morgana dla kwantyfikatorów:

 
Aby wykazać prawdziwość zdania , wystarczy znaleźć jeden element , dla którego  jest zdaniem prawdziwym.
 
Np.  zdanie:    jest zdaniem prawdziwym, ponieważ dla  jest zdaniem prawdziwym.