logika3

Matematyka - Logika 3

Prawa rachunku zdań

Prawem logicznym (prawem rachunku zdań, tautologią) nazywamy zdanie złożone, które jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zdań je tworzących.
 
Do dowodzenia praw logiki służy tzw. metoda zerojedynkowa. Rozpatruje się wszelkie możliwe wartości logiczne zdań tworzących i ocenia wartość logiczną zdania złożonego.
 
Niektóre prawa rachunku zdań
 

1. Prawo wyłączonego środka:    p Ú (~p)        (z dwóch zdań p i ~p co najmniej jedno musi być prawdziwe).
   
2. Prawo sprzeczności :     ~[p (~p)]     (z dwóch zdań p i ~p co najmniej jedno musi być fałszywe).
   
3. Prawo podwójnego przeczenia:   ~(~p) Ű p      (dla każdego zdania p  zdanie "p" i zdanie "nieprawda, że nie p" mają tę samą wartość logiczną.
   
4. ( p Ú p) Ű p.
   
5. ( p Ů p) Ű p:
   
6. Prawo przemienności koniunkcji: 
     (p Ů q) Ű (q Ů p).
   
7. Prawo przemienności alternatywy 
     (p Ú q) Ű (q Ú p).
   
8. Prawo łączności koniunkcji:  
   (p Ů q) Ů r Ű  p Ů (q Ů r).
   
9. Prawo łączności alternatywy:
    (p Ú q) Ú r Ű p Ú (q Ú r).
   
10. Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy:
    [(p q) Ú s] Ű [(p Ú s) (q Ú s)].
    
11. Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji:
    [(p Ú q) s] Ű [(p s) Ú (q s)].

 

1. Prawa De Morgana to dwa bardzo ważne prawa dotyczące zaprzeczeń zdań.
   
   1. Zaprzeczenie alternatywy - I prawo de Morgana.
      
      [~(p Ú q)] Ű
      
      [(~p)Ů( ~ q)]
      
      

      p	q	~p	~q	pÚq	~(p Ú q)	(~p) Ů ( ~ q)	[~(p Ú q)] Ű [(~p) Ů ( ~ q)]
      1	1	0	0	1	0	0	1
      1	0	0	1	1	0	0	1
      0	1	1	0	1	0	0	1
      0	0	1	1	0	1	1	1

      
      
   2. Zaprzeczenie koniunkcji - II prawo de Morgana.
      [~(q Ů p)] Ű [(~q) Ú (~p)]
      

   q	p	q Ů p	~(q Ů p)	(~q)	(~p)	(~q) Ú (~p)	~(q Ů p) Ű [( ~q) Ú (~p)]
   1	1	1	0	0	0	0	1
   1	0	0	1	0	1	1	1
   0	1	0	1	1	0	1	1
   0	0	0	1	1	1	1	1

   
   

1. Prawo pochłaniania    p Ţ (p Ú q),(p Ů q ) Ţ p.
   
2. Prawo Dunsa-Scotusa       (~p)Ţ (p Ţ q).
   Prawa związane z implikacją i równoważnością.
    
   
3. Zaprzeczenie implikacji: [~(p Ţq)] Ű[p Ů(~q)]
   
   

   p	Q	p Ţ q	~(p Ţq)	~q	p Ů (~ q)	[~(p Ţ q)] Ű [p Ů (~ q)]
   1	1	1	0	0	0	1
   1	0	0	1	1	1	1
   0	1	1	0	0	0	1
   0	0	1	0	1	0	1

    
   
4. Prawo przechodniości implikacji: [(p Ţq) (q Ţs)] Ţ(p Ţs).
   
5. Prawo eliminacji implikacji: (p Ţq) [(~p) Ú q].
   
6. Prawo kontrapozycji: (p Ţq) [(~q Ţ (~p)].