liczby wymierne

Liczby wymierne


Liczbę W nazywamy wymierną, jeśli można ją przedstawić w postaci ułamka , gdzie  i .

Zbiór liczb wymiernych oznacza się symbolem W (w literaturze naukowej liczby wymierne oznacza się symbolem Q). Zatem:



Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka na nieskończenie wiele sposobów, ponieważ:



Ponieważ każda liczba całkowita: , zatem  . Wynika stąd, że zbiór liczb całkowitych jest podzbiorem zbioru liczb wymiernych:  .

Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej.

Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego. Przedstawienie takie nazywamy rozwinięciem dziesiętnym liczby.

Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest:

1. Ułamkiem skończonym,
   
   
2. Ułamkiem nieskończonym okresowym

W rozwinięciu dziesiętnym okresowym od pewnego miejsca powtarza się pewna cyfra lub grupa cyfr np. 0,333... ; 0,857142857142... ; 0,4166... .Tę cyfrę lub grupę cyfr nazywamy okresem ułamka. W zapisie symbolicznym ułamka okresowego jego okres zapisujemy tylko raz ujmując go w nawias zwykły np.:

0,333... = 0,(3)

0,857142857142... = 0,(857142)

0,4166... = 0,41(6)

Jeżeli w rozkładzie na czynniki pierwsze mianownika ułamka nieskracalnego występują tylko liczby 2 lub 5, to ułamek ten ma rozwinięcie dziesiętne skończone.
Jeżeli w rozkładzie na czynniki pierwsze mianownika ułamka nieskracalnego występuje co najmniej jedna liczba różna od i 2 różna od 5, to ułamek ten ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.

Ułamki zwykłe można zamienić na ułamki dziesiętne wykorzystując dwa sposoby:

1. Rozszerza się ułamek tak, aby w mianowniku otrzymać potęgę liczby 10,
   np.
   Sposób ten dotyczy wyłącznie ułamków o rozwinięciu dziesiętnym skończonym.
   
   
2. Dzieli się licznik ułamka przez jego mianownik.
   np.
   

Sposób ten obejmuje oba typy rozwinięcia dziesiętnego ułamków.