liczby rzeczywiste 8 h

Matematyka - Liczby rzeczywiste 5

Symbol Newtona.
 
Symbolem Newtona nazywamy wyrażenie mające postać:
 

gdzie    i  .
Symbol Newtona czytamy "".
 
Własności symbolu Newtona.
 
Dla każdej pary liczb naturalnych  i  prawdziwe są wzory:

1. .
   
2. 
   
3. 
   
4.   i 
   
5. 

 
Czwarta z powyższych równości znajduje zastosowanie do budowania trójkąta Pascala, w którego -tym wierszu umieszczone są liczby  dla
 
Trójkąt Pascala
 

0								1
1							1		1
2						1		2		1
3					1		3		3		1
4				1		4		6		4		1
5			1		5		10		10		5		1
6		1		6		15		20		15		6		1
7	1		7		21		35		35		21		7		1

itd.
Począwszy od trzeciego wiersza każdy wyraz od drugiego do przedostatniego jest sumą dwóch wyrazów leżących bezpośrednio nad nim.
 
Wzór dwumianowy Newtona
 
Jest to wzór pozwalający obliczyć dowolną naturalną potęgę dwumianu .
 
Dla każdej liczby naturalnej  i dowolnych liczb rzeczywistych  takich, że  zachodzi wzór dwumianowy Newtona:


 
Przykład 1:
Za pomocą wzoru dwumianowego Newtona rozwiń iloczyn:  .
Rozwiązanie:


 
Współczynniki  odczytujemy z trójkąta Pascala i otrzymujemy:

 
Przykład 2:
Udowodnij, że:
 
Rozwiązanie
W celu udowodnienia powyższej zależności obliczmy, korzystając ze wzoru dwumianowego Newtona, -tą potęgę dwumianu :

 
Ale i , więc:
,
co należało udowodnić.
 
Przykład 3:
W rozwinięciu  wyznacz składnik nie zawierający  (dla )
 
Rozwiązanie:
Ze wzoru dwumianowego Newtona wynika, że każdy składnik rozwinięcia  ma postać:

 
Aby szukany składnik nie zawierał zmiennej , wykładnik  musi być równy zero.

 
Dla  składnik rozwinięcia  ma postać 
 
Wzory skróconego mnożenia
 
1. Kwadrat sumy:

2. Kwadrat różnicy:
 
3. Kwadrat sumy trzech składników:

4. Różnica kwadratów:

5. Sześcian sumy:

6. Sześcian różnicy:

7. Suma sześcianów:

8. Różnica sześcianów:

 
Własności równości liczb.
 
Jeśli  i  to:
 
    
    , 
dla 
 
Własności nierówności liczb.
 
Jeśli  i  , to:
                                

, 
dla                  
, 
dla 
, 
dla                          
, 
dla 
 
Wartości średnie.
 
Średnia arytmetyczna.
 
Średnią arytmetyczną dwóch liczb  określa wzór:

 
Średnią arytmetyczną  liczb  określa wzór:

 
Średnia geometryczna.
 
Średnią geometryczną dwóch liczb  określa wzór:
.
 
Średnią geometryczną  liczb   określa wzór:

 
Średnia harmoniczna.
 
Średnią harmoniczną dwóch liczb  określa wzór:

 
Średnią harmoniczną  liczb   określa wzór: