liczby rzeczywiste 8 a-g

Matematyka - Liczby rzeczywiste 4

Działania na liczbach i wyrażeniach
 
Proporcja.
 
Proporcją nazywamy równość dwóch ułamków (stosunków):
   lub   ,
gdzie .
 
Wyrażenia  nazywamy wyrażeniami skrajnymi, a wyrażenia  nazywamy wyrażeniami środkowymi proporcji.
 
W proporcji iloczyn wyrazów środkowych jest równy iloczynowi wyrażeń skrajnych:
.
 
Własności proporcji:
 
Jeśli , to:

                       

 
dla .
 
Procent.
 
Jednym procentem  liczby  nazywamy jedną setną część tej liczby.
.
Aby obliczyć  liczby , należy liczbę  pomnożyć przez wyrażenie :

 
Aby znaleźć liczbę  wiedząc, że jej  wynosi , należy liczbę  podzielić przez wyrażenie :

 
Aby obliczyć jakim procentem liczby  jest liczba , należy liczbę  podzielić przez liczbę  i otrzymany wynik pomnożyć przez :

 
Promil.
Jednym promilem liczby  nazywamy jedną tysięczną część tej liczby.
 
Wartość bezwzględna.
 
Wartością bezwzględną liczby rzeczywistej  nazywamy liczbę , jeśli  jest liczbą nieujemną,  albo liczbę  (liczbę przeciwną do ), jeśli  jest liczbą ujemną.
Wartość bezwzględną liczby  oznaczamy symbolem

 
Własności wartości bezwzględnej:

1. Wartość bezwzględna jest zawsze nieujemna:
    
   
2. Wartości bezwzględne liczb przeciwnych są takie same:
   .
   
3. .
   
4. Wartość bezwzględna sumy dwóch liczb jest mniejsza lub równa sumie wartości bezwzględnych tych liczb (tzw. nierówność trójkąta dla wartości bezwzględnej:
   .
   
5. Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb jest mniejsza lub równa sumie wartości bezwzględnych tych liczb:
   
   
6. Wartość bezwzględna iloczynu dwóch liczb jest równa iloczynowi wartości bezwzględnych tych liczb:
   
   
7. Wartość bezwzględna ilorazu dwóch liczb jest równa ilorazowi wartości bezwzględnych tych liczb:
    dla .
   
8. 
   
9. Jeśli , to:
   
   
   
   
10. Pierwiastek kwadratowy z kwadratu liczby  jest równy wartości bezwzględnej liczby :
    

Część całkowita liczby.
 
Częścią całkowitą liczby  nazywamy największą liczbę całkowitą nie większą od liczby  (największa z tych wszystkich liczb całkowitych, które są mniejsze lub równe ).
Część całkowitą liczby  oznaczamy symbolem:    lub 
 
Własności części całkowitej liczby.

1. Część całkowita liczby jest liczbą całkowitą:
   
   
2. Częścią całkowitą liczby  jest liczba :
   
   
3. 

 
Potęgowanie
 
Potęgę liczby  o wykładniku  oznaczamy symbolicznie: , gdzie:
 
 - podstawa potęgi,
 - wykładnik potęgi,
 - -ta potęga liczby
 
Potęga o wykładniku naturalnym dodatnim
 
Potęgę dowolnej liczby rzeczywistej  o wykładniku naturalnym dodatnim określają wzory:

 
Z powyższej definicji rekurencyjnej wynika, że:

i iloczyn ten składa się z  czynników.
 
Potęga o wykładniku całkowitym
 
Potęgę dowolnej liczby rzeczywistej  o wykładniku całkowitym określają wzory:

gdzie
 
Z powyższej definicji wynika, że:
,  gdzie
 
Potęga o wykładniku wymiernym
 
Potęgę o wykładniku wymiernym określają wzory:

1. ,  gdzie    i 
   
2. ,  gdzie    i    i  ,
   
3. ,  gdzie    i    i 

 
Potęga o wykładniku niewymiernym
 
Dana jest liczba niewymierna . Przyjmujemy, że  jest ciągiem liczb wymiernych takich, że:

 
Potęgę liczby niewymiernej  określamy teraz w następujący sposób:
   dla  
 
Prawa działań na potęgach
 
Dla dowolnych liczb dodatnich  oraz dowolnych liczb rzeczywistych  prawdziwe są wzory:

1. 
   
2. 
   
3. 
   
4. 
   
5. 

 
Przykład:
Przedstaw wyrażenie w postaci potęgi liczby 2:

Rozwiązanie:
Przy doprowadzaniu powyższego wyrażenia do postaci potęgi liczby 2 należy korzystać z praw działań na potęgach:

 
Pierwiastki
 
Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia , gdzie , z liczby nieujemnej  ( ) nazywamy taką liczbę nieujemną  ( ), dla której:

i oznaczamy symbolicznie

 
Przyjmujemy następujące określenia:
 - liczba podpierwiastkowa,
 - stopień pierwiastka,
 - pierwiastek -tego stopnia z  (wynik pierwiastkowania).
 
Prawa działań na pierwiastkach
 
Dla dowolnych liczb rzeczywistych  nieujemnych  i liczb  zachodzą następujące wzory:

1. 
   
2. 
   
3. 
   
4. 
   
5. 
   
6. 
   
7.      gdzie

 
Przykład:
Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci:

1. 
   
2. 

Rozwiązanie:

1. 
   
   
2. Można zauważyć, że
   
    
   Wynika stąd, że:
   

Silnia
 
Niech  będzie liczbą naturalną. Przyjmuje się następujące oznaczenie:

 
Symbol  nazywamy  - silnia.
 
Z definicji rekurencyjnej wynika, że dla :
,
czyli  jest iloczynem kolejnych liczb naturalnych od  do