liczby rzeczywiste 6-7

Matematyka - Liczby rzeczywiste 3

Oś liczbowa
 
Osią liczbową nazywamy prostą, na której
      1. obrano punkt zerowy,
      2. jeden ze zwrotów osi uznano za zwrot dodatni,
      3. obrano jednostkę osi.
 

Oś liczbowa
 
      Istnieje ścisły związek między liczbami rzeczywistymi a punktami osi liczbowej:
 
      Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować jeden punkt osi liczbowej i na odwrót, każdy punkt osi odpowiada dokładnie jednej liczbie rzeczywistej.
 
      Liczbę, której przyporządkowano dany punkt osi liczbowej, nazywamy współrzędną tego punktu na osi.
 
Przedziały liczbowe
 
      Ważnymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych  są przedziały.
 
      Niech  będą liczbami rzeczywistymi takimi, że
      Wszystkie rodzaje przedziałów o końcach  zawiera tabela:
 

Nazwa	Zapis	Określenie	Ilustracja graficzna
Przedział obustronnie otwarty
Przedział obustronnie domknięty
Przedział lewostronnie domknięty
Przedział prawostronnie domknięty
Przedział lewostronnie nieograniczony i prawostronnie otwarty
Przedział lewostronnie nieograniczony i prawostronnie domknięty
Przedział lewostronnie otwarty i prawostronnie nieograniczony
Przedział lewostronnie domknięty i prawostronnie nieograniczony

 
 
W szczególnym przypadku :
.
 
Zbiory ograniczone i nieograniczone
 
Zbiór ograniczony z góry
 
      Niepusty podzbiór  zbioru liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym z góry wtedy i tylko wtedy, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista , która jest nie mniejsza (większa bądź równa) od każdej liczby
zbioru :
.
 
      Liczbę  nazywamy liczbą ograniczającą zbiór  z góry.
 
Zbiór ograniczony z dołu
 
      Niepusty podzbiór  zbioru liczb rzeczywistych nazywamy ograniczonym z dołu wtedy i tylko wtedy, jeśli istnieje taka liczba rzeczywista , która jest nie większa (mniejsza bądź równa) od każdej liczby zbioru :
.
 
      Liczbę  nazywamy liczbą ograniczającą zbiór  z dołu.
 
      Zbiór ograniczony zarówno z dołu jak i z góry nazywamy zbiorem ograniczonym.
.
 
Kres górny
 
      Kresem górnym zbioru nazywamy najmniejszą z liczb ograniczającą ten zbiór z góry. Kres górny zbioru  oznaczamy symbolem: .
Kres górny zbioru  może być lub może nie być elementem zbioru .
 
Kres dolny
 
      Kresem dolnym zbioru nazywamy największą z liczb ograniczającą ten zbiór z dołu. Kres dolny zbioru  oznaczamy symbolem: .
Kres dolny zbioru  może być lub może nie być elementem zbioru .
 
Aksjomat ciągłości zbioru liczb rzeczywistych.
 
Każdy niepusty ograniczony z dołu podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres dolny, a każdy niepusty ograniczony z góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma kres górny.
 
Przykład:
Wyznacz kres dolny i kres górny (o ile istnieją) zbioru: 
Rozwiązanie:
Najpierw wyznaczmy kilka początkowych liczb należących do zbioru  Dla  otrzymujemy następujące liczby:

 
Można zauważyć, że w zbiorze  istnieje liczba największa:  i dla każdego  zachodzi nierówność: . Wynika stąd, że:

 
a więc zbiór  jest ograniczony i posiada oba kresy (aksjomat ciągłości), przy czym: