granice i ciągłość funkcji 3

Matematyka - Granice i ciągłość funkcji 3

Asymptoty
 
Asymptota ukośna

      Prosta o równaniu , gdzie , jest asymptotą ukośną prawostronną (lewostronną) wykresu funkcji , jeżeli:

.
 
      Wykres funkcji  ma asymptotę ukośną prawostronną (lewostronną), jeśli spełnione są warunki

1.  (lub ),
   
2.   (lub ),
   
3.    (lub .

      Jeśli co najmniej jedna z granic (lub ),    
(lub > nie istnieje lub jest niewłaściwa, to wykres funkcji  nie ma asymptoty ukośnej prawostronnej (lewostronnej).

 
Asymptota pozioma
 
      Prosta  jest asymptotą poziomą prawostronną (lewostronną) wykresu funkcji  , jeśli:
   (lub  ,
gdzie .
 
      Jeśli prosta jest zarówno asymptotą poziomą lewostronną i prawostronną, to nazywamy ją asymptotą poziomą obustronną.
 
Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej dla .

 
Asymptota pionowa
 
      Prosta o równaniu  jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji , jeśli:
  lub .
 
      Prosta o równaniu  jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji , jeśli:
  lub  .
 
      Prosta o równaniu  jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji , jeśli jest jednocześnie asymptotą lewostronną i prawostronną tego wykresu.

 
Przykład:
Wyznacz asymptoty wykresów funkcji: 
a)  ,   b)  .
 
Rozwiązanie:
a) Należy wyznaczyć dziedzinę funkcji:  . Można się więc spodziewać, ż funkcja ma asymptoty pionowe  i . Obliczymy granice jednostronne funkcji dla  i .
  oraz   .
 
Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną .
  oraz   .
 
Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną .
 
W celu zbadania istnienia granicy ukośnej lub poziomej należy obliczyć granice funkcji w nieskończoności:
   oraz   .
 
Wykres funkcji ma więc asymptotę poziomą obustronną .
Odp. Asymptotami wykresu funkcji  są proste:
      1. Asymptoty pionowe obustronne:
         a) ,
         b) ,
      2. Asymptota pozioma obustronna:
         .
b) W celu wyznaczenia dziedziny funkcji należy rozłożyć jej mianownik na czynniki:
.
Dziedziną funkcji jest więc zbiór:  i można się spodziewać asymptot pionowych  oraz . Obliczymy granice jednostronne:
 
   oraz   .
 
Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną .
 
Obliczymy granice jednostronne danej funkcji dla . Dla  licznik i mianownik danej funkcji są równe zero. Należy więc rozłożyć licznik funkcji na czynniki, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia"
   oraz   .
 
Wynika stąd, że funkcja nie ma asymptoty pionowej .
 
W celu zbadania istnienia granicy ukośnej lub poziomej należy obliczyć granice funkcji w nieskończoności:
   oraz   .
Funkcja może mieć asymptotę ukośną. Trzeba obliczyć granice:
  oraz  .
A następnie:

Analogicznie:

Wykres funkcji ma więc asymptotę ukośną obustronną .
 
Odp. Asymptotami wykresu funkcji  są proste:
      1. Asymptota pionowa obustronna:
         ,
      2. Asymptota ukośna obustronna:
         .
 
Ciągłość funkcji
 
Funkcja ciągła w punkcie

      Funkcję  nazywamy funkcją ciągłą w punkcie  wtedy i tylko wtedy, gdy
, czyli:
      1. funkcja  ma w punkcie  granicę ,
      2. granica  jest równa wartości funkcji w punkcie ().
 
Nie bada się ciągłości funkcji w punktach, które nie należą do dziedziny funkcji.
 
      W celu zbadania ciągłości funkcji  w punkcie  należy:
 
      1. Obliczyć wartość funkcji w punkcie  - ,
      2. Obliczyć granicę funkcji w punkcie -  lub granicę prawostronną i lewostronną funkcji
w punkcie ,
      3. Sprawdzić, czy zachodzi równość   lub
.
 
Funkcja ciągła w zbiorze

      Funkcję  nazywamy ciągłą w przedziale , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
 
      Funkcja  jest ciągła w przedziale  wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale  oraz
 i  .
 
Funkcję nazywamy ciągłą w całej dziedzinie (krótko ciągłą), jeśli jest ciągła w każdym punkcie należącym do dziedziny.
 
Wykres funkcji określonej na przedziale i ciągłej w tym przedziale jest linią ciągłą tzn. nie występują w nim przerwy.
 
Funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach są m.in. funkcje:
         potęgowe,
         wielomiany,
         wymierne,
         wykładnicze,
         logarytmiczne,
         trygonometryczne.
 
Własności funkcji ciągłych
 
Działania arytmetyczne na funkcjach ciągłych

      Jeśli funkcje  i  są ciągłe w punkcie , to funkcje , o ile tylko  również są ciągłe w punkcie .
 
Ciągłość funkcji odwrotnej

      Funkcja odwrotna do funkcji ciągłej i rosnącej (malejącej) w przedziale  jest ciągła i rosnąca (malejąca) w przedziale .
 
Ciągłość funkcji złożonej

      Funkcja złożona z funkcji ciągłych w punkcie  jest ciągła w punkcie .
 
Przyjmowanie wartości najmniejszej i największej przez funkcję ciągłą (tw. Weierstrassa).

      Jeśli funkcja jest ciągła w przedziale domkniętym , to jest w nim ograniczona i w pewnym punkcie  tego przedziału przyjmuje wartość najmniejszą, oraz w pewnym punkcie tego przedziału przyjmuje wartość największą.
 
Przyjmowanie wartości pośredniej przez funkcję ciągłą (tw. Darboux)

      Funkcja ciągła w przedziale domkniętym  przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między wartością najmniejszą i największa tej funkcji w przedziale .
      W szczególności, jeśli <, to funkcja  ma co najmniej jedno miejsce zerowe w tym przedziale.
 
Przykład:
Dla jakich wartości parametru  Funkcja:

jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.
 
Rozwiązanie:
Funkcje  oraz  są ciągłe w zbiorze liczb rzeczywistych, więc ich iloraz jest funkcją ciągłą dla wszystkich . Wynika stąd, że należy zbadać ciągłość danej funkcji w punkcie . W tym celu obliczymy granicę:
.
Aby funkcja była ciągła w punkcie  musi być spełniony warunek: , czyli
.
Odp. Dana funkcja jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych dla .