granice i ciągłość funkcji 2

Matematyka - Granice i ciągłość funkcji 2

Granice wybranych funkcji

1. , gdzie .
   
2. .
   
3. , gdzie  jest wielomianem.
   
4. , gdzie  i  są wielomianami i .
   
5.  dla .
   
6. ,    .
   
7. .
   
8. .
   
9. .
   
10. .
    
11. Jeśli , to:
    

Przykład:

Oblicz granice:

1. 
   
2. 
   
3. 
   
4. 
   
5. 
   
6. 
   
7. 
   
8. 
   
9. 
   
10. 

 
Rozwiązanie:

1. Granicą wielomianu  w punkcie  jest wartość tego wielomianu w punkcie (punkt 3 "Granice wybranych funkcji"), więc:
   
    
   
2. Granica wielomianu w nieskończoności zależy wyłącznie od tego, czy , czy  oraz
   od wyrazu wielomianu zawierającego najwyższą potęgę zmiennej (od potęgi - parzysta, czy nieparzysta oraz od znaku współczynnika). W przykładzie wyrazem z najwyższą potęgą jest  (współczynnik dodatni, potęga nieparzysta, ), więc:
   .
    
   
3. Przed policzeniem granicy funkcji wymiernej w punkcie  należy obliczyć wartość wielomianu występującego w mianowniku tej funkcji dla :
   .
   Gdy wartość mianownika dla  jest różna od zera, to granicą funkcji wymiernej dla  jest wartość tej funkcji dla  (punkt 4 "Granice wybranych funkcji"), więc:
   .
    
   
4. Podobnie jak w przykładzie c) należy obliczyć wartość mianownika funkcji dla :
   .
    
   Ponieważ dla  mianownik jest zerem, trzeba obliczyć wartość licznika funkcji dla :
   .
    
   Wartości licznika i mianownika dla są równe zero, więc w celu obliczenia tej granicy należy rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. W liczniku występuje wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, w mianowniku trzeba wyznaczyć pierwiastki:
   .
   Otrzymujemy:
   .
   W mianowniku tego wyrażenia dla  otrzymujemy wartość , a więc granica jest wartością wyrażenia dla :
   .
    
   
5. Należy obliczyć granicę funkcji wymiernej w nieskończoności. Zależy ona od stopni mianownika i licznika. W danej funkcji stopień licznika (siódmy) jest wyższy od stopnia mianownika (drugi), więc granicą będzie  lub . Znak zależy od różnicy stopni licznika i mianownika (parzysta, czy nieparzysta), od znaku współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika oraz od granicy ( , czy ).
   W danej funkcji różnica stopni jest nieparzysta, współczynniki przy najwyższych potęgach są dodatnie, , więc:
   .
    
   
6. Podobnie jak poprzednio należy obliczyć granicę funkcji wymiernej w nieskończoności. Stopnie licznika jest niższy od stopnia mianownika, więc granica w nieskończoności jest równa zero:
   .
    
   
7. Podobnie jak poprzednio należy obliczyć granicę funkcji wymiernej w nieskończoności. Stopnie licznika i mianownika są takie same, więc granica w nieskończoności jest równa ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika:
   .
    
   
8. Dla  licznik i mianownik danej funkcji są równe zero. Należy więc najpierw przekształcić wzór danej funkcji mnożąc licznik i mianownik przez , aby móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
   
   Dla  mianownik powstałego wyrażenia jest równy , więc granicą funkcji dla  jest wartość tego wyrażenia dla :
   .
    
   
9. W celu obliczenia tej granicy należy funkcję pomnożyć i podzielić przez wyrażenie , aby skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
   
    
   
10. Dla licznik i mianownik danej funkcji są równe zero. Należy więc najpierw przekształcić wzór danej funkcji korzystając ze wzoru na różnice cosinusów:
    
    Wiadomo, że , więc: