 |
|
| zapomniałem hasło
zarejestruj się
|
|
granice i ciągłość funkcji 1
Przed wprowadzeniem definicji granicy funkcji zdefiniujmy pewne niezbędne pojęcia. Otoczenie i sąsiedztwo punktu Jeśli dana jest funkcja  , gdzie  i  , to dowolny ciąg  , którego każdy wyraz należy do dziedziny funkcji f nazywamy ciągiem argumentów funkcji  , natomiast ciąg  nazywamy ciągiem wartości funkcji  odpowiadającym ciągowi  .Sąsiedztwo punktu Sąsiedztwem o promieniu  punktu  nazywamy sumę przedziałów  i oznaczamy symbolem  .   .Otoczenie punktu Otoczeniem o promieniu  punktu  nazywamy przedział otwarty  i oznaczamy symbolem  .   .Granica funkcji Granica funkcji w punkcie Istnieją dwie równoważne definicje granicy funkcji - definicje Heinego i definicje Cauchy'ego. Definicja Heinego Liczbę g nazywamy granicą funkcji  w punkcie  , wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji  , gdzie  , o wyrazach  , zbieżnego do  , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest zbieżny do g. Definicja Cauchy'ego >>>>>>>>>>>>>>>> Liczbę g nazywamy granicą funkcji  w punkcie  , wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby  istnieje taka liczba  , że dla każdego  spełniony jest warunek  . .Granica niewłaściwa funkcji w punkcie (definicja Heinego) Funkcja  ma w punkcie  granicę niewłaściwą  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji  , gdzie  , o wyrazach  , zbieżnego do  , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest rozbieżny do  .  Granica funkcji w punkcie niewłaściwym - w nieskończoności (definicje Heinego) Granica właściwa Funkcja  ma w  granicę równą g, wtedy i tylko wtedy, dla każdego ciągu argumentów funkcji  , gdzie  , rozbieżnego do  , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest zbieżny do g. Granice niewłaściwe Funkcja  ma w  granicę niewłaściwą  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji  , gdzie  , rozbieżnego do  , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest rozbieżny do  . Funkcja  ma w  granicę niewłaściwą  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji  , gdzie  , rozbieżnego do  odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest rozbieżny do  . Granice jednostronne funkcji (definicje Heinego) Granica lewostronna właściwa Liczbę g nazywamy granicą lewostronną funkcji  w punkcie  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji  , gdzie  , o wyrazach mniejszych od  , zbieżnego do  , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest zbieżny do g. Granica prawostronna właściwa Liczbę g nazywamy granicą prawostronną funkcji  w punkcie  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji  , gdzie  , o wyrazach większych od  , zbieżnego do  , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest zbieżny do g. Granica lewostronna niewłaściwa Funkcja  ma w punkcie  lewostronną granicę niewłaściwą  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji  , gdzie  , o wyrazach mniejszych od  , zbieżnego do  , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest rozbieżny do  . Granica prawostronna niewłaściwa Funkcja  ma w punkcie  prawostronną granicę niewłaściwą  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji  , gdzie  , o wyrazach większych od  , zbieżnego do  , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest rozbieżny do  . Istnienie granicy funkcji w punkcie Funkcja  , określona w pewnym sąsiedztwie punktu  , ma w tym punkcie granicę wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie obie granice jednostronne i granice te są równe: Jeśli natomiast  , to funkcja nie ma granicy w punkcie  .Przykład: Sprawdź, czy funkcje a)  b)  mają granice w punkcie  . Rozwiązanie: Należy obliczyć granice jednostronne obu funkcji w punkcie  .
Działania na granicach funkcji Jeśli funkcje  i  mają w punkcie  granice równe odpowiednio  i  , to istnieją w punkcie  granice funkcji  , przy czym ta ostatnia istnieje przy dodatkowym założeniu, że  , i zachodzą związki:
Jeżeli  , to  .Jeżeli  i  dla  , to  .Jeżeli  i  dla  , to .Reguła de l'Hospitala Jeśli funkcje  i  są określone i różniczkowalne w sąsiedztwie punktu  ,  , oraz zachodzi jeden z następujących warunków: lub  i  i istnieje granica:  , to istnieje granica  , przy czym:  . | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
, 
, więc dana funkcja nie ma granicy w punkcie 
.
, 
.
, więc dana funkcja ma granicę w punkcie 
.:
.
, gdzie >
.| wszelkie prawa zastrzeżone © 2007 Fundacja Nauka i Wiedza |