funkcje wymierne

Matematyka - Funkcje wymierne
 
Pojęcie funkcji wymiernej
 
      Funkcją wymierną nazywamy funkcję postaci:
 
,
 
gdzie  i  są wielomianami i  nie jest wielomianem zerowym.
 
      Dziedziną funkcji wymiernej jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, które nie są pierwiastkami wielomianu w mianowniku:

 
Każda funkcja wielomianowa jest funkcją wymierną (dla )
 
Ułamki proste
 
Funkcje wymierne postaci:

 
gdzie:  nazywamy ułamkami prostymi.
 
      Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę wielomianu i pewnej liczby ułamków prostych.
 
Działania na funkcjach wymiernych
 
      Suma, różnica,  iloczyn i iloraz dwóch funkcji wymiernych jest funkcją wymierną, przy czym dziedzina sumy, różnicy i iloczynu funkcji jest równa części wspólnej ich dziedzin, natomiast dziedzina ilorazu funkcji jest częścią wspólną ich dziedzin, z której usunięto miejsca zerowe funkcji będącej dzielnikiem:
 

 
Równość funkcji wymiernych
 
      Dwie funkcje wymierne są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same dziedziny i dla każdej wartości argumentu mają takie same wartości:
 

 
 
Funkcja homograficzna
 
      Funkcję wymierną postaci:

 
gdzie  i , nazywamy funkcją homograficzną
 
      Założenie, że  gwarantuje, że funkcja  nie jest funkcją stałą.
 
Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór:
 Zbiorem wartości funkcji homograficznej jest zbiór:
 
      Szczególnym przypadkiem funkcji homograficznej jest funkcja:   , gdzie . Jej wykresem jest hiperbola, której asymptotami są osie układu współrzędnych.
 

Wykres funkcji
 
Wykresem każdej funkcji homograficznej jest hiperbola, o asymptocie poziomej:  i  asymptocie
pionowej:
 
      Wykres dowolnej funkcji homograficznej można otrzymać przez przesunięcie wykresu funkcji postaci
 
,
 
gdzie:

 
o pewien wektor , którego współrzędne zależą od współczynników  w następujący sposób:
 

 
      Dla funkcja homograficzna jest przedziałami malejąca, dla  funkcja homograficzna jest przedziałami rosnąca.
 
Wykres funkcji homograficznej przedziałami malejącej ( ) przedstawia rysunek:
 

Wykres funkcji homograficznej przedziałami malejącej
 
 
Wykres funkcji homograficznej przedziałami rosnącej ( ) przedstawia rysunek:
 

Wykres funkcji homograficznej przedziałami rosnącej
 
 
Przykład:
Naszkicuj wykres funkcji
 
Rozwiązanie:
Dana jest funkcja :  . Trzeba tak przekształcić jej wzór, aby wyznaczyć wzór funkcji, której wykres po przesunięciu jest wykresem danej funkcji:
 

Wykresem danej funkcji jest więc hiperbola , powstała w wyniku przesunięcia wykresu funkcji  o wektor: . Wykres funkcji przedstawia rysunek: