Funkcje trygonometryczne4

Matematyka - Funkcje trygonometryczne 4

Związki między funkcjami trygonometrycznymi
 
Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta
 
Między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta zachodzą następujące związki:

1. ,  zwany jedynką trygonometryczną,
   
2. ,  dla   <,   gdzie  ,
   
3. ,  dla ,   gdzie ,
   
4. ,  dla  ,   gdzie .

Wszystkie powyższe związki są prawdziwe również dla kątów w mierze łukowej.
 
      Związki te służą m. in. do obliczania wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych danego kąta, gdy znana jest jedna z nich, do dowodzenia tożsamości, do przekształcania wyrażeń przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych itp.
 
Przykład 1:
Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta a wiedząc, że:
a)
b) .
 
Rozwiązanie:
a)Najpierw korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczamy :
  .
Ponieważ kąt  jest kątem dowolnym (nie należy do konkretnej ćwiartki), należy uwzględnić obie odpowiedzi.
 
Teraz wyznaczymy .
 .
 
Odpowiedź:
   Ú  
b) Najłatwiej obliczyć .
 
Aby obliczyć , należy ułożyć układ równań -  pierwszym będzie zależność  od , drugim jedynka trygonometryczna:
        
.
Ponieważ,więc wybieramy wartość ujemną cosinusa. Wówczas .
Odpowiedź:
.
 
Przykład 2:
Udowodnij tożsamość:  .
 
Rozwiązanie:
Tożsamość ta może być prawdziwa . Wówczas:

	Sprowadzenie do wspólnego mianownika	Skorzystanie ze wzoru skróconego mnożenia	Skorzystanie z jedynki trygonometrycznej

Związki między funkcjami trygonometrycznymi dwóch kątów
 
Funkcje trygonometryczne sumy kątów:
,
,
, gdy   i ,
, gdy   i .
 
Funkcje trygonometryczne różnicy kątów:
,
,
,gdy    i ,
,gdy    i .
 
Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego:
,
,
, gdy    i
, gdy   i .
 
Sumy funkcji trygonometrycznych:
,
,
, gdy  ,
, gdy  .
 
Różnice funkcji trygonometrycznych:
,
,
, gdy ,
, gdy .
 
      Wzory te przydają się przy przekształcaniu wyrażeń trygonometrycznych, przy dowodzeniu tożsamości, przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych itp.
 
Przykład 1:
Przedstaw w postaci iloczynowej następujące wyrażenie:
Rozwiązanie:
 

	= [ ]×[ ] =
	Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

 

Zastosowanie wzorów na różnicę i sumę  kosinusów

 

=	=  =
Uporządkowanie argumentów funkcji	Skorzystanie z parzystości funkcji kosinus i nieparzystości funkcji sinus

 

=

Skorzystanie ze wzoru na sinus podwojonego argumentu

 
 
Odp.   = 
 
 
Przykład 2:
Udowodnij tożsamość: 
 
Rozwiązanie:
Aby tożsamość mogła być prawdziwa, muszą być spełnione założenia: 
 
Należy przekształcić lewą stronę tożsamości:
 

		=
	Skorzystanie ze wzorów na sinus i kosinus podwojonego argumentu	Uporządkowanie wyrażeń w liczniku i mianowniku

 

=	=	=	=
Skrócenie ułamka	Skorzystanie ze wzorów na sinus i kosinus podwojonego argumentu	Uporządkowanie mianownika	Skrócenie ułamka i skorzystanie z zależności między tangensem, sinusem i kosinusem kąta