Funkcje trygonometryczne3

Matematyka - Funkcje trygonometryczne 3

Wzory redukcyjne
      Wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta można  otrzymać na podstawie znajomości wartości tych funkcji dla odpowiednich kątów ostrych.  Służą do tego tzw. wzory redukcyjne.
 
Jest 28 wzorów redukcyjnych. Przedstawia je tabela:

      Istnieje wzór ogólny, przy pomocy którego można uzyskać wszystkie wzory redukcyjne zawarte w tabeli. Wzór ten ma postać:

gdzie:

	Oznacza dowolną funkcję trygonometryczną
	Oznacza odpowiednią kofunkcję trygonometryczną
	Oznacza miarę dowolnego kąta skierowanego
	Oznacza miarę główną danego kąta
	Oznacza miarę kąta I  ćwiartki, po dodaniu lub odjęciu którego od wielokrotności 90o otrzymujemy miarę główną  danego kąta
	Oznacza dowolną liczbę całkowitą
	Oznacza liczbę należącą do zbioru

      Znak  przed funkcją lub kofunkcją zależy od rodzaju funkcji trygonometrycznej i od ćwiartki, do której należy miara główna  danego kąta .
 
Tabela funkcji  trygonometrycznych i odpowiadających im kofunkcji trygonometrycznych.

Funkcja trygonometryczna	Kofunkcja trygonometryczna

Przykład:
Oblicz: a)  sin 840^o,   b)  cos (-600^o),   c)  tg (-1215^o),   d)  ctg(660^o).
Rozwiązanie:
a) Najpierw należy znaleźć miarę główną kąta 840^o . Ponieważ   840^o =  2×360^o  +  120^o,  więc  . Miara główna kąta należy do II ćwiartki, w której sinus jest dodatni.
Teraz należy przedstawić kąt  przy pomocy kąta pierwszej ćwiartki:   120^o = 90^o  + 30^o , czyli  .
90^o jest nieparzystą wielokrotnością 90^o , więc funkcja sinus przechodzi na kofunkcję cosinus,  ze znakiem dodatnim, ponieważ   Reasumując otrzymujemy:
.
b) Ponieważ  , więc:

c) Ponieważ  , więc:

d)