funkcje trygonometryczne 1

Matematyka - Funkcje trygonometryczne 1
 
Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym.
 
      Funkcje trygonometryczne kąta ostrego wyrażają stosunki długości odpowiednich boków trójkąta prostokątnego, którego jednym z kątów jest kąt .
 
Oznaczenia w trójkącie prostokątnym:

 - kąty ostre trójkąta,
 - przeciwprostokątna trójkąta,
 - przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta ,
 - przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta .
 
Definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.
 
Sinus:
      Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości przeciwprostokątnej:
.
Cosinus:
      Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przeciwprostokątnej:
.
Tangens:
      Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości drugiej przyprostokątnej:
.
Cotangens:
      Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej:
.
 
Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta
      Dla każdego kąta ostrego można tak wybrać układ współrzędnych, aby:

1. wierzchołek kąta leżał w początku tego układu (punkcie (0,0)),
   
2. jedno ramię kąta pokrywało się z dodatnią półosią osi OX,
   
3. drugie ramię kąta znajdowało się w pierwszej ćwiartce układu.

 
Wówczas na ramieniu kąta leżącym w pierwszej ćwiartce należy obrać dowolny punkt, nie pokrywający się z początkiem układu,  wyznaczyć jego odległość od początku układu (tzw. promień wodzący) :

i policzyć odpowiednie stosunki:

 
Z twierdzenia Talesa wynika, że wartości tych stosunków nie zależą od wyboru punktu, jeśli tylko leży on na drugim ramieniu kąta  i nie pokrywa się z początkiem układu współrzędnych.
 
Kąt skierowany
      Każdą liczbę stopni można uważać za miarę kąta obrotu półprostej wokół początku układu współrzędnych od  jej położenia początkowego na dodatniej półosi OX. Półprostą po obrocie traktuje się jako drugie ramię kąta.
      W ten sposób otrzymaliśmy pojęcie kąta skierowanego - kąta płaskiego z ustalonym uporządkowaniem ramion, pierwsze ramię kąta nazywane jest ramieniem początkowym, drugie ramieniem końcowym
 
      Rozwartością kąta skierowanego nazywamy miarę kąta, którego ramionami są ramiona kąta skierowanego.
 
      Miarą kąta skierowanego nazywamy jego rozwartość ze znakiem plus "+"  lub minus "-" w zależności od kierunku obrotu półprostej będącej drugim ramieniem kata.
 
      Przyjęto uznawać za dodatnie te miary kątów, które zakreśla półprosta obracająca się w kierunku  przeciwnym do ruchu wskazówek zegara ,  natomiast za ujemne miary tych kątów, które zakreśla półprosta obracająca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara .
 
      Końcowe ramiona kątów skierowanych różniących się od siebie o wielokrotność kąta pełnego pokrywają się, tzn. aby znaleźć się w tym samym położeniu końcowym półprosta może obrócić się o kąt  lub o kąt , gdzie  może być dowolną liczbą całkowitą. Miara kata skierowanego ma zatem nieskończenie wiele wartości różniących się między sobą o całkowitą wielokrotność.
 
      Najmniejszą nieujemną miarę kąta skierowanego nazywamy miarą główną tego kąta. Miara główna kąta należy do przedziału .
 
Równość kątów skierowanych
 
Dwa kąty skierowane są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same miary główne.
 
Miara łukowa kąta
      W wielu zastosowaniach funkcji trygonometrycznych korzysta się z miary łukowej kąta, która wiąże miarę kąta  z jednostką długości.
 
      Miarą łukową kąta nazywamy długość łuku wyciętego przez ten kąt z okręgu o promieniu 1 i środku leżącym w wierzchołku tego kąta.
 
      Jednostką miary łukowej jest radian. Jest to kąt środkowy oparty na łuku długości promienia okręgu. Nazwę tej jednostki najczęściej pomija się w zapisie.  1 radian    57^o 17^' 14^'' .
 
      Kąt pełny (360^o) wycina łuk o długości okręgu, czyli dla okręgu o promieniu 1 jest to łuk długości.
Wniosek  -  kąt pełny ma miarę łukową  radianów.
 
      Zamiana  miary stopniowej kąta na miarę łukową i na odwrót jest prosta:
       .
 
Miary łukowe wybranych kątów:

Miara Stopniowa kąta	30o	45o	60o	90o	180o	270o	360o
Miara łukowa kąta

Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego.
      W celu wyznaczenia funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego, na drugim ramieniu kąta  (na półprostej po wykonaniu odpowiedniego obrotu) obiera się, podobnie jak poprzednio, punkt  i oblicza się odpowiednie stosunki długości.

.
      Jak wynika z powyższych wzorów funkcje sinus i cosinus określone są dla wszystkich kątów , ponieważ
.
      Funkcja tangens nie jest określona dla nieparzystych wielokrotności , ponieważ dla tych kątów końcowe ramię kąta pokrywa się z osią OY i wówczas .
 dla ,  gdzie   (lub dla kątów w mierze łukowej)
 
      Funkcja cotangens nie jest określona dla parzystych wielokrotności , ponieważ dla tych kątów końcowe ramię kąta pokrywa się z osią OX i wówczas .
dla ,  gdzie   (lub  dla kątów w mierze łukowej)
 
Znaki funkcji trygonometrycznych

      Znaki funkcji trygonometrycznych zależą od tego, w której ćwiartce leży końcowe ramię kąta.
 
W I ćwiartce:, więc wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie.
W II ćwiartce: , więc dodatni jest sinus, a pozostałe są ujemne.
W III ćwiartce: , więc dodatnie są  tangens i cotangens, a pozostałe są ujemne.
W IV ćwiartce: , więc dodatni jest cosinus, a pozostałe są ujemne.
 
Tabela znaków funkcji trygonometrycznych:

	Sinus	Cosinus	Tangens	Cotangens
I ćwiartka	+	+	+	+
II ćwiartka	+	-	-	-
III ćwiartka	-	-	+	+
IV ćwiartka	-	+	-	-

Przy zapamiętaniu znaków funkcji trygonometrycznych może pomóc wierszyk:
 
W pierwszej wszystkie są dodatnie.
W drugiej tylko sinus.
W trzeciej tangens i cotangens.
A w czwartej cosinus.
 
Pierwsza, druga, trzecia, czwarta, to ćwiartki układu współrzędnych.