funkcje 6

Matematyka - Funkcje 2

Rodzaje funkcji

Tabela zawiera definicje i omówienie różnych rodzajów funkcji:

Nazwa	Definicja i komentarz
Funkcja "w"	Funkcję nazywamy funkcją "w", jeśli zbiór jej wartości jest podzbiorem właściwym przeciwdziedziny:. (W zbiorze Y są elementy, które nie zostały przyporządkowane elementom należącym do zbioru X)
Funkcja "na"	Funkcję nazywamy funkcją "na", jeśli jej zbiór wartości jest równy przeciwdziedzinie: . (Wszystkie elementy zbioru Y zostały przyporządkowane elementom zbioru X).
Funkcja różnowartościowa	Funkcję nazywamy różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy . Każdej parze różnych argumentów funkcja przyporządkowuje różne wartości tzn. każda  wartość funkcji jest przyjmowana tylko jeden raz.
4. Funkcja wzajemnie jednoznaczna	Funkcję nazywamy wzajemnie jednoznaczną, jeśli jest funkcją różnowartościowa i funkcją "na".
Funkcja rosnąca	Funkcja f jest rosnąca . Wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.
Funkcja malejąca	Funkcja f jest malejąca  . Wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.
Funkcja niemalejąca	Funkcja f jest niemalejąca  . Wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji rosną lub pozostają niezmienione.
Funkcja nierosnąca	Funkcja f jest nierosnąca . Wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji maleją lub pozostają niezmienione.
Funkcja stała	Funkcja f jest stała  . Dla wszystkich argumentów funkcja przyjmuje tą samą wartość.
Funkcja monotoniczna	Funkcja jest monotoniczna, jeśli jest nierosnąca albo niemalejąca.
Funkcja ściśle monotoniczna	Funkcja jest ściśle monotoniczna, jeśli jest rosnąca albo malejąca.
Funkcja parzysta	Funkcja jest parzysta  . Funkcja jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy 1.dziedzina funkcji jest symetryczna względem zera  (liczby przeciwne albo jednocześnie należą, albo jednocześnie nie należą do dziedziny), 2.wykres funkcji jest symetryczny względem osi OY .
Funkcja nieparzysta	Funkcja jest nieparzysta  . Funkcja jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy 1.dziedzina funkcji jest symetryczna względem zera (liczby przeciwne albo jednocześnie należą, albo jednocześnie nie należą do dziedziny), 2.wykres funkcji jest symetryczny względem punktu (0,0)
Funkcja okresowa	Funkcja jest okresowa . Liczba T nazywana jest okresem funkcji f. Najmniejszy dodatni okres funkcji f (o ile istnieje) nazywa się okresem podstawowym (zasadniczym) funkcji.

Funkcja odwrotna

Warunek istnienia funkcji odwrotnej do funkcji : Funkcja  musi być wzajemnie jednoznaczna. Funkcję przyporządkowującą każdemu elementowi  taki element , że  nazywamy funkcją odwrotną do .   Aby wyznaczyć funkcję odwrotną , należy ze wzoru funkcji  wyznaczyć zmienną w zależności od , a następnie mechanicznie zamienić miejscami obie litery ( ).   Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych są symetryczne względem prostej .   Jeśli funkcja f ma funkcję odwrotną, to nazywamy ją funkcją odwracalną.

Funkcja  złożona

Dane są funkcje i . Jeżeli , to funkcję  określoną na zbiorze  wzorem: nazywamy złożeniem funkcji  i  (funkcją złożoną z funkcji  i ) i oznaczamy . Dziedziną złożenia  jest więc zbiór tych argumentów  należących do dziedziny funkcji , dla których  należy do dziedziny funkcji . Składanie funkcji nie jest przemienne tzn. na ogół . Aby wyznaczyć funkcję  we wzorze funkcji w miejsce argumentu  wstawiamy funkcję .