funkcje 1-5

Matematyka - Funkcje 1

Niech X i Y będą niepustymi zbiorami.

Funkcją odwzorowującą zbiór  w zbiór , nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru  dokładnie jednego elementu zbioru .

Uwaga: aby przyporządkowanie było funkcją, musi, zgodnie z definicją, spełniać dwa warunki:

1. Element ze zbioru  musi być przyporządkowany każdemu elementowi zbioru ,
   
2. Każdemu elementowi zbioru  musi być przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru

Funkcje oznaczamy najczęściej małymi literami: f, g, h, ...
Zapis  oznacza, że f jest funkcją odwzorowującą zbiór  w zbiór

Zbiór , którego elementom funkcja przyporządkowuje elementy zbioru , nazywamy dziedziną funkcji. Dziedzinę funkcji f oznaczamy również symbolem

Elementy zbioru  nazywamy argumentami funkcji.
Zbiór którego elementy zostały przyporządkowane elementom dziedziny funkcji, nazywamy przeciwdziedziną funkcji.

Przeciwdziedzinę funkcji oznaczamy również symbolem 
Zapis  oznacza, że  jest elementem zbioru  przyporządkowanym przez funkcję  argumentowi . Mówimy, że  jest wartością funkcji f dla argumentu

Elementom ze zbioru  mogą być przyporządkowane wszystkie elementy zbioru  lub tylko niektóre z nich. Zbiór tych elementów ze zbioru , które zostały przypisane elementom ze zbioru , nazywamy zbiorem wartości funkcji .Zbiór wartości funkcji  oznaczamy symbolem .
Do zbioru  należą więc tylko te elementy  przeciwdziedziny, dla których istnieją takie argumenty dziedziny funkcji, że  jest wartością funkcji dla pewnego :

Sposoby opisywania funkcji:

1. Przepis słowny.
   
2. Tabelka.
   
3. Graf.
   
4. Zbiór par uporządkowanych, gdzie poprzednik oznacza argument funkcji, a następnik wartość funkcji dla tego argumentu.
   
5. Wzór.
   
6. Wykres.

Funkcja liczbowa.
 
Funkcję, której argumentami i wartościami są liczby rzeczywiste, nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej lub funkcją liczbową.
 
Dziedziną i zbiorem wartości takiej funkcji są podzbiory zbioru liczb rzeczywistych .
 
Równość funkcji
 
Funkcje  i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:
1.  (mają takie same dziedziny)
2. (dla wszystkich argumentów przyjmują takie same wartości).
 
Podstawowe pojęcia związane funkcją
 
Tabela zawiera podstawowe pojęcia jak dziedzina, przeciwdziedzina itp. związane z funkcjami oraz ich określenia.

Nazwa	Określenie
Dziedzina funkcji określonej wzorem	Dziedziną funkcji określonej wzorem nazywamy zbiór takich argumentów, dla których wzór opisujący funkcję ma sens liczbowy.   Dziedziną funkcji opisanej wzorem jest zbiór liczb rzeczywistych za wyjątkiem tych jego podzbiorów, dla elementów których nie można obliczyć wartości wyrażenia występującego we wzorze funkcji (tzn., gdy działanie we wzorze funkcji nie jest dla nich wykonalne).   Np. w mianowniku nie może wystąpić zero lub pod pierwiastkiem musi znajdować się wartość nieujemna lub liczba logarytmowana musi być dodatnia itp.
Argumenty funkcji	Elementy dziedziny funkcji - .
Przeciwdziedzina funkcji	Zbiór, którego elementy (wszystkie lub niektóre) są przyporządkowywane przez funkcję elementom dziedziny funkcji.
Wartość funkcji	Element przeciwdziedziny funkcji, który został przyporządkowany elementowi dziedziny funkcji. Wartość funkcji dla argumentu oznaczamy symbolem .
Zbiór wartości funkcji	Zbiorem wartości funkcji nazywamy  zbiór tych elementów należących do przeciwdziedziny funkcji , które zostały przyporządkowane argumentom funkcji: Zbiór wartości funkcji jest zawsze podzbiorem przeciwdziedziny.
Wykres funkcji	Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych , gdzie  jest argumentem funkcji, a  jest wartością funkcji dla tego argumentu.
Miejsce zerowe funkcji	Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdą wartość argumentu , dla której wartość funkcji równa jest 0: .