funkcja liniowa

Zadania z rozwiązaniami - Funkcja liniowa
 
Zadanie 1
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkty A=(2,-1) i B=(-2,7)
 
Rozwiązanie:
Niech prosta przechodząca przez punkty A i B ma równanie y=ax+b . Współrzędne tych punktów spełniają to równanie.Otrzymujemy układ równań.

-1=a2+b
7=a(-2)+b


2a+b=-1
-2a+b=7

________________
         2b=6
         b=3


b=3
-1=2a+3


b=3
2a=-4


b=3
a=-2


y=-2x+3

Odpowiedź:
Prosta AB ma równanie y=-2x+3

Zadanie 2
Dana jest funkcja określona wzorem y=-2x+3. Napisz wzór funkcji, której wykres jest równoległy do wykresu danej funkcji i przechodzi przez punkt A=(-3,-1).
 
Rozwiązanie:
Wykresem danej funkcji jest prosta k o równaniu y=-2x+3. Szukamy równania prostej m takiej, że m || k i A Î m.
Niech m: y=ax+b, a=-2 bo m || k

m: y=-2x+b
A=(-3,-1) , A Î m, więc        -1=-2 (-3) +b
                                          b=-1-6
                                          b=-7

m: y=-2x-7

Odpowiedź:
Szukana funkcja określana jest wzorem y=-2x-7.
 
Zadanie 3
Dana jest funkcja określona wzorem f(x)=-3x+6 , xÎR.
sporządź wykres tej funkcji i znajdź jej miejsce zerowe. Dla jakich wartości argumentu wartości funkcji są mniejsze od (-5)?  

Rozwiązanie:

a.

f(x)=-3x+6
xÎR
y=-3x+6

x	0	1	2
y	6	3	0

 
-3x+6=0
-3x=-6
x=2

b.

y<-5
-3x+6<-5
-3x<-5-6
-3x<-11 /:(-3)
x>11/3
x>

Odpowiedź:
Funkcja f(x) ma miejsce zerowe w punkcie x=2.
Wartości funkcji są mniejsze od (-5) dla x>.

Zadanie 4
Dane są równania dwóch funkcji: xÎR , oraz , xÎR.
a. Znajdź punkt C przecięcia wykresów tych funkcji.
b. Oblicz pole trójkąta ABC, gdzie A i B są punktami przecięcia się wykresów tych funkcji z osią x.  

Rozwiązanie:
a.
Współrzędne punktu C przecięcia wykresów funkcji spełniają układ równań:

 
C=(7,5;1,5)
 
b.

x	0	3	-3
y	-1	0	2

x	-5	0	5
y	-1	0	1

B = (x,0)

x = 3
B = (3,0)

A = (x,0)

x = 0
A = (0,0)


Odpowiedź:
Punkt C ma współrzędne (7,5 ;1,5)
Pole tego trójkąta wynosi

Zadanie 5
Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x) = (5m - 4)x + 8 jest:
a) rosnąca
b) malejąca
c) stała

Rozwiązanie:
a) Funkcja liniowa f(x) = ax + b jest funkcją rosnącą gdy a > 0.

f(x) = (5m - 4)x + 8
a = 5m - 4
a0
5m - 4 0
5m 4
m

b) Funkcja liniowa f(x) = ax + b jest funkcją malejącą gdy a < 0
5m - 4 0
5m 4
m

c) Funkcja liniowa f(x) = ax + b jest funkcją stałą gdy a = 0
5m - 4 = 0
m =


Odpowiedź: Funkcja f(x) jest rosnąca dla m > , malejąca dla m < , stała dla m= .