ciągi 2

Matematyka - Ciągi 2

Ciąg arytmetyczny i geometryczny.
 
Pojęcie ciągu arytmetycznego
 
Ciąg liczbowy  nazywamy ciągiem arytmetycznym gdy jest co najmniej trzywyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby . Liczbę nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
 
Pojęcie ciągu geometrycznego

Ciąg liczbowy  nazywamy ciągiem geometrycznym gdy jest co najmniej trzywyrazowy, i którego każdy wyraz, poczynając od drugiego, powstaje z pomnożenia wyrazu  poprzedniego przez stałą liczbę  zwaną ilorazem tego ciągu.
 
Własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych
 
Tabela przedstawiająca własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
 

	Ciąg arytmetyczny	Ciąg geometryczny
Definicja (wzór rekurencyjny)
Wzór ogólny
Zależność między trzema sąsiednimi wyrazami ciągu
Suma pierwszych n wyrazów ciągu
Monotoniczność ciągu	r 0,  ciąg malejący, r = 0,  ciąg stały, r 0,  ciąg rosnący.	q 0,  ciąg niemonotoniczny, q = 1,  ciąg stały, a1 = 0, ciąg stały, 0 q 1 i a1 0, ciąg malejący, q 1 i a1 0, ciąg malejący, 0 q 1 i a1 0, ciąg rosnący, q 1 i a1 0, ciąg rosnący.

 
 
 
Przykład 1:
Wyznacz ciąg arytmetyczny malejący, w którym iloczyn wyrazu trzeciego i szóstego jest równy , zaś przy dzieleniu wyrazu drugiego przez piąty otrzymujemy iloraz  i resztę .
 
Rozwiązanie:
Z treści zadania wynikają dwa warunki:
 
 oraz .
 
Drugi warunek można zapisać w postaci:

 
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi  i :

 
wyznaczając z drugiego równania niewiadomą  w zależności od niewiadomej :

i wstawiając do równania pierwszego otrzymuje się równanie kwadratowe:
 
.
 
,    , .
Ciąg ma być malejący, więc .
Tylko  spełnia ten warunek. Dla  wyraz pierwszy ciągu jest równy . Szukanym ciągiem jest więc ciąg:
.
 
Przykład 2:
Dla jakiej wartości zmiennej  liczby:  tworzą ciąg geometryczny.
 
Rozwiązanie.
Aby trzy liczby tworzyły ciąg geometryczny muszą spełniać zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego: .
W zadaniu:
.
Po przekształceniach otrzymujemy równanie:
 
      .
 
Tak więc dla powyższe liczby tworzą ciąg geometryczny.
 

Szereg geometryczny.
 
Dany jest ciąg geometryczny nieskończony: 
 
Ciąg   o wyrazach:  , nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego lub szeregiem geometrycznym.
 
Jeśli ciąg sum częściowych  ma granicę , to nazywamy ją sumą nieskończonego ciągu geometrycznego lub sumą szeregu geometrycznego.
 
 
Szereg zbieżny, to taki, który ma granicę. Szereg rozbieżny to taki, który nie jest zbieżny.
 
 
Warunek zbieżności szeregu geometrycznego.
 
Szereg geometryczny jest zbieżny gdy lub .
 
 
Suma zbieżnego szeregu geometrycznego:
 

 
 
 
Przykład:

Wyznacz szereg geometryczny, którego suma wynosi , a suma jego wyrazów o wskaźnikach nieparzystych wynosi .
 
Rozwiązanie.

Szereg geometryczny tworzą wyrazy:  Ciąg wyrazów o wskaźnikach nieparzystych , tzn.  też jest szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie  i ilorazie . Korzystając ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego (przy założeniu, że ciąg jest zbieżny, czyli ) otrzymuje się układ równań:
 
 
 
Z drugiego równania otrzymuje się , co spełnia warunek . Po wstawieniu tej wartości do równania pierwszego otrzymuje się .
 
Odp. Szukanym ciągiem jest ciąg: 
 
 
 
Często nieskończony ciąg geometryczny wykorzystywany jest w równaniach, nierównościach i wzorach funkcji, a także w geometrii.
 
 
Przykład:
Rozwiąż nierówność, w której lewa strona jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego:
 


W danym szeregu geometrycznym:  .
Szereg geometryczny jest zbieżny, jeśli  1^o   lub  2^o  .  Należy rozwiązać nierówność w obu przypadkach.
 
1^o        i  nierówność spełniona.
2^o     . Należy rozwiązać nierówność podwójną:  .
.
 
Tak więc szereg geometryczny jest zbieżny, gdy  i można skorzystać ze wzoru na sumę.
.
 
Podstawiając  do nierówności otrzymujemy:
 

.
 
Należy teraz uwzględnić warunek zbieżności szeregu .   Odpowiedzią jest część wspólna obu zbiorów, a więc: .
Odpowiedź ta uwzględnia , dla .
 
Odp. Rozwiązaniem nierówności jest zbiór .
 
 
Indukcja matematyczna.
 
Indukcja matematyczna jest metodą dowodzenia twierdzeń o liczbach naturalnych.
Niech  oznacza twierdzenie, w którym jest mowa o liczbach naturalnych.
 
 
Zasada indukcji matematycznej.
 
Jeżeli istnieje taka liczba naturalna , dla której:
1. twierdzenie jest prawdziwe,
2. Dla każdej liczby naturalnej  z prawdziwości twierdzenia  wynika prawdziwość
twierdzenia , to twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej .
 
 
Dowód przeprowadzany metodą indukcji matematycznej nazywamy dowodem indukcyjnym. Postępuje się przy nim w następujący sposób:
 
1. Określa się najmniejszą liczbę naturalną , dla której twierdzenie ma być prawdziwe, a następnie
sprawdza się, czy rzeczywiście dane twierdzenie jest prawdziwe dla  (metodą podstawienia liczby  w miejsce zmiennej  w twierdzeniu).
 
2. Zakłada się, że twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnej liczby  (jest to tzw. założenie
indukcyjne).
 
3. Dowodzi się, że twierdzenie jest prawdziwe dla następnej liczby naturalnej tzn. dla .
 
4. Na mocy indukcji matematycznej wnosi się, że twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby
naturalnej .
 
 
Przykład:
Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest równość:
 

Rozwiązanie:
Skorzystamy z zasady indukcji matematycznej.
 
1. Wyznaczamy najmniejszą liczbę, dla której równość jest prawdziwa. Z postaci pierwszego i ostatniego składnika  sumy wnioskujemy, że , a więc . Dla  sprawdzamy prawdziwość danej równości:
 
     i      ,
 
a więc , gdzie  i  oznaczają odpowiednio lewą i prawą stronę równości.
 
2. Zakładamy, że równość jest spełniona dla dowolnej liczby naturalnej , tzn. prawdziwa jest równość:
 
  (założenie indukcyjne).
 
3. Udowodnimy, że prawdziwa jest równość dla  tzn.:
 
(teza indukcyjna).
Dowód:
 
Przekształcamy lewą stronę tezy korzystając z założenia indukcyjnego:
 
 =  =
 
= .
 
4. Udowodniliśmy, że z prawdziwości równości dla dowolnej liczby naturalnej  wynika prawdziwość tej równości dla liczby następnej  oraz, że równość jest prawdziwa dla liczby , więc na mocy indukcji matematycznej wnosimy, że równość jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej .