ciągi 1

Matematyka - Ciągi 1

      Ciągiem nazywamy każdą funkcję , której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych  (ciąg nieskończony) lub skończony początkowy podzbiór zbioru liczb naturalnych  (ciąg skończony). Przyjmuje się też czasami, że dziedziną ciągu może być zbiór liczb naturalnych z zerem (np. w ciągu Fibonacciego).

Wartość funkcji  dla argumentu  nazywamy tym wyrazem ciągu i oznaczamy symbolem :


Ciąg o wyrazach  zapisujemy symbolicznie jako .

Wyrazami ciągu mogą być elementy dowolnego zbioru . Jeśli zbiór jest zbiorem liczb rzeczywistych, to ciąg nazywamy liczbowym.


Najważniejsze sposoby opisu ciągów liczbowych:

1. Wzór ogólny - podaje zależność między -tym wyrazem ciągu  a jego numerem  (wskaźnikiem ) np.


2. Wzór rekurencyjny (indukcyjny) - wyraz  ciągu zostaje wyrażony przy pomocy poprzednich wyrazów tego ciągu, przy czym musi zostać podany wyraz pierwszy  np.



Nie każdy ciąg  liczbowy daje się przedstawić przy pomocy powyższych wzorów.


Monotoniczność ciągu.

*Ciąg nazywamy rosnącym Ű   - tzn. każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego.

*Ciąg nazywamy malejącym Ű  - tzn.  każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

*Ciąg nazywamy nierosnącym Ű  - tzn. każdy następny wyraz jest nie większy od poprzedniego (mniejszy bądź równy).

*Ciąg nazywamy niemalejącym Ű  - tzn. każdy następny wyraz jest nie mniejszy od poprzedniego (większy bądź równy).

*Ciąg nazywamy stałym Ű  - tzn. wszystkie wyrazy ciągu są takie same.

Ciąg stały jest nierosnący i niemalejący jednocześnie.

Ciąg nierosnący lub niemalejący nazywamy monotonicznym, ciąg rosnący lub malejący nazywamy ściśle monotonicznym.

Aby zbadać monotoniczność ciągu wyznaczamy różnicę  i badamy jej znak.

Przykład:   
Zbadaj monotoniczność ciągu opisanego wzorem ogólnym: .

Rozwiązanie.
Tworzymy wyraz następny ciągu:  

i wyznaczamy różnicę:



.

Ponieważ  więc  dla każdego . Wynika stąd, że  a więc dany ciąg, zgodnie z definicją, jest rosnący.


Ciąg ograniczony.

*Ciąg  jest ograniczony Ű .


Granica ciągu liczbowego.

Granica właściwa ciągu.

Liczbę  spełniającą dla danego ciągu nieskończonego  warunek:

 = g Ű  .

nazywamy granicą właściwą tego ciągu.

Liczba taka, jeśli istnieje, jest jedna dla danego ciągu.
Z definicji tej wynika, że liczba  jest granicą ciągu , jeśli prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (tzn. wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego bez pewnej liczby jego początkowych wyrazów) należą do przedziału . Mówiąc inaczej dla coraz większych , różnica pomiędzy liczbą  a wyrazem  jest coraz mniejsza.


Granica niewłaściwa ciągu.

Ciąg  nazywamy rozbieżnym do + Ą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby  prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od .

 = + Ą Ű .

Z definicji wynika, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności, jeśli jego kolejne wyrazy są coraz większe.

Ciąg (a ) nazywamy rozbieżnym do - Ą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby  prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od .

 = - Ą Ű    .

Z definicji wynika, że ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności, jeśli jego kolejne wyrazy są coraz mniejsze i ujemne.

Ciąg mający granicę właściwą nazywamy ciągiem zbieżnym, ciąg nie mający granicy nazywamy ciągiem rozbieżnym.
 
Twierdzenia o ciągach zbieżnych.
 
1. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
 
2. Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.
 
3. Granicą ciągu stałego o wyrazach równych  jest liczba .
 
4. Jeżeli ciągi  i są zbieżne, przy czym  i  , to zbieżne są też ciągi ,,  ,  a przy założeniu, że   jest zbieżny ciąg i zachodzą związki:
, ,   , .
 
5. Dla dowolnej liczby rzeczywistej  i ciągu  o granicy zachodzi twierdzenie:
 
6. Twierdzenie o trzech ciągach: jeżeli ciągi  i  są zbieżne do tej samej granicy  i jeśli  jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają zależność:  , to ciąg  jest zbieżny do granicy.
 
7. Jeśli, to.
 
Granice niektórych ciągów.
 
1. .
2. .
3. , dla .
4..
5. , dla .
6. , dla  i .
7. .
8. = .
9. , dla .
 
10.
 
11.
 
 
 
 
 
 
Przykład:
Dla jakich wartości parametru  ciąg  o wyrazie ogólnym ma granicę równą 4.
 
Rozwiązanie:
Ciąg z zadania ma postać ciągu ze wzoru 11. Dla  stopień licznika i mianownika są takie same, a więc 
 =
(z warunków zadania).
 
Należy rozwiązać równanie kwadratowe:
 
     
 
Odp. Dany ciąg ma granicę równą  dla .